Каталог по темам

Задачи

Страница: << 146 147 148 149 150 151 152 >> [Всего задач: 1221]

Задача 78683

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Дано натуральное число N. С ним производится следующая операция: каждая цифра этого числа заносится на отдельную карточку (при этом разрешается добавлять или выбрасывать любое число карточек, на которых написана цифра 0), и затем эти карточки разбивают на две кучи. В каждой из них карточки располагаются в произвольном порядке, и полученные два числа складываются. С полученным числом N₁ проделывается такая же операция, и т.д. Докажите, что за 15 шагов из N можно получить однозначное число.

Прислать комментарий Решение

Задача 79488

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Произведение некоторых 1986 натуральных чисел имеет ровно 1985 различных простых делителей.
Доказать, что либо одно из этих чисел, либо произведение нескольких из них является квадратом натурального числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98459

Темы:	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Внутри прямоугольного листа бумаги вырезали n прямоугольных дыр со сторонами, параллельными краям листа. На какое наименьшее число прямоугольных частей можно гарантированно разрезать этот дырявый лист? (Дыры не перекрываются и не соприкасаются.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 105161

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Итерации	]
	[	Обратные тригонометрические функции	]
	[	Многочлены (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Чеботарев А.С.

Дана бесконечная последовательность многочленов P₁(x), P₂(x), ... . Всегда ли существует конечный набор функций f₁(x), f₂(x), ..., f_N(x), композициями которых можно записать любой из них (например, P₁(x) = f₂(f₁(f₂(x))))?

Прислать комментарий

Решение

Задача 107843

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Замена переменных	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Авторы: Гальперин Г.А., Смоляков А.Н.

Положительные числа a, b и c таковы, что abc = 1. Докажите неравенство

≤ 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 146 147 148 149 150 151 152 >> [Всего задач: 1221]