Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
Через противоположные рёбра AB и CD тетраэдра ABCD проведены две параллельные плоскости. Аналогично, две параллельные плоскости проведены через рёбра BC и AD , а также – через рёбра AC и BD . Эти шесть плоскостей задают параллелепипед. Докажите, что если тетраэдр ABCD – ортоцентрический (его высоты пересекаются в одной точке), то все рёбра параллелепипеда равны; а если тетраэдр ABCD – равногранный (все его грани – равные между собой треугольники), то параллелепипед – прямоугольный.
Вокруг правильного семиугольника описали окружность и вписали в него окружность. То же проделали с правильным 17-угольником. В результате каждый из многоугольников оказался расположенным в своем круговом кольце. Оказалось, что площади этих колец одинаковы. Докажите, что стороны многоугольников одинаковы.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что
AC BD. Найдите
длину BC, если расстояние от центра окружности до стороны AD равно 2.
Есть три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. Саша взял себе один треугольник, а Боря – два оставшихся. Оказалось, что Боря может приложить (без наложения) один из своих треугольников к другому, и получить треугольник, равный Сашиному. Какой из этих треугольников взял Саша?
На сторонах острого угла ABC взяты точки A и C. Одна окружность касается прямой AB в точке B и проходит через точку C. Вторая окружность касается прямой BC в точке B и проходит через точку A. Точка D – вторая общая точка окружностей. Известно, что AB = a, CD = b, BC = c. Найти AD.
Докажите, что координаты точки пересечения медиан треугольника есть средние арифметические соответствующих координат вершин треугольника.
Три спортсмена стартовали одновременно из точки A и бежали по прямой в точку B каждый со своей постоянной скоростью. Добежав до точки B, каждый из них мгновенно повернул обратно и бежал с другой постоянной скоростью к финишу в точке A. Их тренер бежал рядом и все время находился в точке, сумма расстояний от которой до участников забега была наименьшей. Известно, что расстояние от A до B равно 60 м и все спортсмены финишировали одновременно. Мог ли тренер пробежать меньше 100 м?
В треугольнике KLM проведена медиана LN. Известно, что ∠KLM = ∠LNM, KM = 10.
Найдите а) сторону LM; б) ∠LMK, если расстояние от точки M до центра описанной окружности треугольника KLN равно 10.
Точки K и L лежат на сторонах соответственно AB и AC треугольника ABC, причём KB = LC. Точка X симметрична точке K относительно середины стороны AC, а точка Y симметрична точке L относительно середины стороны AB. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла A, делит отрезок XY пополам.
В треугольнике PQR точка T лежит на стороне PR, ∠QTR = ∠PQR, PT = 8, TR = 1.
Найдите а) сторону QR; б) угол QRP, если радиус описанной окружности треугольника PQT равен 3.
Медианой пятиугольника ABCDE назовём отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (A – с серединой CD, B – с серединой DE и т.д.). Докажите, что если четыре медианы выпуклого пятиугольника перпендикулярны сторонам, к которым они проведены, то таким же свойством обладает и пятая медиана.
В саду растут яблони и груши — всего 7 деревьев (деревья обоих видов присутствуют). Ближе всех к каждому дереву растет дерево того же вида и дальше всех от каждого дерева растет дерево того же вида. Приведите пример того, как могут располагаться деревья в саду.
Комментарий. Имелось в виду, что если ближайших к данному дереву (или самых дальних от данного дерева) несколько, то условие должно выполнятся для каждого из них.
Даны точки A(–1, 5) и B(3, –7). Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка AB.
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) на стороне AB выбрана точка D, и вокруг треугольников ADC и BDC описаны окружности S1 и S2 соответственно. Касательная, проведённая к S1 в точке D, пересекает второй раз окружность S2 в точке M. Докажите, что BM || AC.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 171]
Задача 30349 |
|
|
У мамы два яблока, три груши и четыре апельсина. Каждый день в течение девяти дней подряд она дает сыну один из оставшихся фруктов.
Сколькими способами это может быть сделано?
|
|
Решение |
Задача 30352 |
|
|
Сколько слов можно составить из пяти букв А и не более чем из трёх букв Б?
|
|
|
Решение |
Задача 30690 |
|
|
У одного школьника есть 6 книг по математике, а у другого – 8. Сколькими способами они могут обменять три книги одного на три книги другого?
|
|
|
Решение |
Задача 30697 |
|
|
Сколькими способами можно составить комиссию из трёх человек, выбирая её членов из четырёх супружеских пар, но так, чтобы члены одной семьи не входили в комиссию одновременно?
|
|
|
Решение |
Задача 30699 |
|
|
Сколькими способами можно переставить буквы слова "ЭПИГРАФ" так, чтобы и гласные, и согласные шли в алфавитном порядке?
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 171]
