Каталог по темам

Задачи

Страница: << 188 189 190 191 192 193 194 >> [Всего задач: 984]

Задача 98345

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Куб	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Объем тела равен сумме объемов его частей	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10

Автор: Произволов В.В.

Куб разрезали на 99 кубиков, из которых ровно у одного ребро имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных ребро равно 1).
Найдите объём исходного куба.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35392

Темы:	[	Рекуррентные соотношения	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Вялый М.Н.

Последовательность {a_n} определяется правилами: a₀ = 9, .
Докажите, что в десятичной записи числа a₁₀ содержится не менее 1000 девяток.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60413

Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Правило произведения	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите тождества:

а)

б)

в)

г)

д)

(Попробуйте доказать эти тождества тремя разными способами: пользуясь тем, что – это количество k-элементных подмножеств в множестве из n элементов; исходя из того, что – это коэффициент при x^k у многочлена (1 + x)ⁿ; пользуясь "шахматным городом" из задачи 60395).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60663

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что 7^{7^{7^7⁷}} – 7^{7^7⁷} делится на 10.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61512

Темы:	[	Раскладки и разбиения	]
	[	Производящие функции	]
	[	Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения	]
	[	Формулы сокращенного умножения (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Обозначим через d(n) количество разбиений числа n на различные слагаемые, а через l(n) – на нечётные. Докажите равенства:

а) d(0) + d(1)x + d(2)x² + ... = (1 + x)(1 + x²)(1 + x³)...;

б) l(0) + l(1)x + l(2)x² + ... = (1 – x)^–1(1 – x³)^–1(1 – x⁵)^–1...;

в) d(n) = l(n) (n = 0, 1, 2, ...).

(Считается по определению, что d(0) = l(0) = 1.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 188 189 190 191 192 193 194 >> [Всего задач: 984]