Страница: << 186 187 188 189 190 191 192 >> [Всего задач: 984]      

Дана функция f(x), значение которой при любом целом x целое. Известно, что для любого простого числа p существует такой многочлен Q_p(x) степени, не превышающей 2013, с целыми коэффициентами, что  f(n) – Q_p(n)  делится на p при любом целом n. Верно ли, что существует такой многочлен g(x) с вещественными коэффициентами , что  g(n) = f(n)  для любого целого n?

Прислать комментарий

Решение

Существует ли бесконечное множество $S$, состоящее из квадратов натуральных чисел, такое, что для любых двух различных $x$ и $y$ из $S$ найдётся $z$ из $S$ (возможно, совпадающее с $x$ или $y$), для которого $x + y + z$ – квадрат натурального числа?

Прислать комментарий

Решение

Найдите все такие целые положительные k, что число
1...12...2-2...2
является квадратом целого числа.
(В первом слагаемом (уменьшаемом) всего 2000 цифр, из которых на последних местах стоят цифры "2" в количестве k штук, а остальные цифры - "1";
второе слагаемое (вычитаемое) состоит из 1001 поряд стоящих цифр "2")

Прислать комментарий

Решение

Из имеющихся последовательностей {b_n} и {c_n} (возможно, {b_n} совпадает с {c_n})  разрешается получать последовательности  {b_n + c_n},
{b_n – c_n},  {b_nc_n}  и  {^b_n/_cn}  (если все члены последовательности {c_n} отличны от 0). Кроме того, из любой имеющейся последовательности можно получить новую, вычеркнув несколько начальных членов. Сначала есть только последовательность {a_n}. Можно ли получить из неё описанными выше операциями последовательность {n}, то есть 1, 2, 3, 4, ..., если
  а)  a_n = n²;

  б)  

  в)  

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для любого натурального числа a₁ > 1 существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел  a₁, a₂, a₃, ...,
что      делится на  a₁ + a₂ + ... + a_k  при всех  k ≥ 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 186 187 188 189 190 191 192 >> [Всего задач: 984]