ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 52]      



Задача 57047

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Теорема Птолемея ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Пусть  $ \alpha$ = $ \pi$/7. Докажите, что  $ {\frac{1}{\sin\alpha }}$ = $ {\frac{1}{\sin 2\alpha }}$ + $ {\frac{1}{\sin
3\alpha }}$.

Решение

Пусть правильный семиугольник  A1...A7 вписан в окружность. Применяя теорему Птолемея к четырехугольнику  A1A3A4A5, получаем  A1A3 . A5A4 + A3A4 . A1A5 = A1A4 . A3A5, т. е.  sin 2$ \alpha$sin$ \alpha$ + sin$ \alpha$sin 3$ \alpha$ = sin 3$ \alpha$sin 2$ \alpha$.
Прислать комментарий


Задача 86482

 [Караван верблюдов]
Темы:   [ Задачи на движение ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8

По пустыне равномерно движется караван верблюдов длиной в 1 км. Всадник проехал от конца каравана к началу и вернулся к концу каравана. За это время караван прошел 1 км. Какой путь проехал всадник, если скорость его была постоянной?

Решение

  Примем скорость каравана за единицу, а скорость всадника обозначим v. Тогда время, затраченное на проезд от конца каравана к началу, равно     а время, затраченное на проезд от начала к концу, равно     По условию     Это уравнение преобразуется к виду
v² – 2v – 1 = 0.  Отсюда     то есть за то время, что караван проходит 1 км, всадник проедет указанное в ответе расстояние.

Ответ

  км.

Прислать комментарий

Задача 61172

Темы:   [ Тригонометрические уравнения ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Найдите все корни xk уравнения

cos x + cos 2x + cos 3x + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$ = 0.

Какому алгебраическому уравнению удовлетворяют числа 2 cos xk?

Ответ

xk = $ {\dfrac{2k\pi}{7}}$ (k = 1, 2, 3); x3 + x2 - 2x - 1 = 0.

Прислать комментарий

Задача 61510

Темы:   [ Раскладки и разбиения ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

На доске написано n натуральных чисел. Пусть ak – количество тех из них, которые больше k. Исходные числа стерли и вместо них написали все положительные ak. Докажите, что если с новыми числами сделать то же самое, то на доске окажется исходный набор чисел.
Например, для чисел 5, 3, 3, 2, получается следующая цепочка   (5, 3, 3, 2)  →  (4, 4, 3, 1, 1)  →  (5, 3, 3, 2).

Подсказка

Проследите за изменением диаграммы Юнга.

Решение

См. задачу 98424.

Прислать комментарий

Задача 78493

Темы:   [ Раскладки и разбиения ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

a1, a2, ..., an — произвольные натуральные числа. Обозначим через bk количество чисел из набора a1, a2, ..., an, удовлетворяющих условию:  aik.
Доказать, что   a1 + a2 + ... + an = b1 + b2 + ...

Решение

Расположим числа в порядке убывания и рассмотрим соответствующую диаграмму Юнга. Нетрудно заметить, что bj – число квадратов в j-м столбце этой диаграммы. Поэтому обе суммы из условия равны числу квадратов в полученной диаграмме.

Прислать комментарий

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 52]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .