Страница:
<< 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 52]
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
Пусть $\alpha =\frac{\pi}{7}$. Докажите,
что $\frac{1}{\sin\alpha }=\frac{1}{\sin 2\alpha }+\frac{1}{\sin
3\alpha }$.
Решение
Пусть правильный семиугольник $A_1\dots A_7$ вписан в окружность. Применяя теорему Птолемея к четырёхугольнику $A_1A_3A_4A_5$, получаем
$$A_1A_3\cdot A_5A_4+A_3A_4\cdot A_1A_5=A_1A_4\cdot A_3A_5,$$
т. е.
$$\sin2\alpha \cdot \sin\alpha +\sin\alpha \cdot \sin3\alpha =\sin3\alpha \cdot \sin2\alpha.$$
|
[Караван верблюдов]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8
|
По пустыне равномерно движется караван верблюдов длиной в 1 км. Всадник проехал от конца каравана к началу и вернулся к концу каравана. За это время караван прошел 1 км. Какой путь проехал всадник, если скорость его была постоянной?
Решение
Считая скорость каравана равной 1, нарисуем графики движения хвоста (OC) и начала (AM) каравана (см. рис.). Расстояние OA равно 1 км.
Пусть биссектриса угла AOC пересекает AC в точке K, а AM – в точке L. Заметим, что ∠AOL = ∠COL = ∠ALO, следовательно треугольник OAL – равнобедренный. Значит, и треугольник CAL – равнобедренный, поэтому ∠ACL = ½ (180° – 45°) = 67,5°. Но и
∠CKL = ∠ACL = ∠ALK = ∠LAK = 22,5° + 45° = 67,5°, то есть треугольник CLK – равнобедренный. Это значит, что ломаная OLC – график движения всадника. Поэтому всадник проехал расстояние 
Ответ
км.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
На доске написано n натуральных чисел. Пусть ak – количество тех из них, которые больше k. Исходные числа стерли и вместо них написали все положительные ak. Докажите, что если с новыми числами сделать то же самое, то на доске окажется исходный набор чисел.
Например, для чисел 5, 3, 3, 2, получается следующая цепочка (5, 3, 3, 2) → (4, 4, 3, 1, 1) → (5, 3, 3, 2).
Подсказка
Проследите за изменением диаграммы Юнга.
Решение
См. задачу 98424.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Дан отрезок [0, 1]. За ход разрешается разбить любой из имеющихся отрезков точкой на два новых отрезка и записать на доску произведение длин этих двух новых отрезков.
Докажите, что ни в какой момент сумма чисел на доске не превысит ½.
Решение
Построим на нашем отрезке как на стороне квадрат и проведём в нём диагональ, не содержащую точку 0. Отметим точку $A_1$, разбив исходный отрезок на два. Произведение длин полученных отрезков равно площади заштрихованного прямоугольника, две противоположные вершины которого – 0 и точка на диагонали, лежащая на проведённом через $A_1$ перпендикуляре к стороне квадрата. Добавляя новые точки, мы будем добавлять на картинке новые прямоугольники,
которые не накладываются друг на друга и все лежат по одну сторону диагонали. Поэтому их суммарная площадь (равная сумме чисел на доске) меньше половины площади квадрата, то есть ½.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
a1,
a2, ...,
an — произвольные натуральные числа. Обозначим через
bk количество чисел из набора
a1,
a2, ...,
an, удовлетворяющих условию:
ai ≥
k.
Доказать, что
a1 +
a2 + ... +
an =
b1 +
b2 + ...
Решение
Расположим числа в порядке убывания и рассмотрим соответствующую диаграмму Юнга. Нетрудно заметить, что bj – число квадратов в j-м столбце этой диаграммы. Поэтому обе суммы из условия равны числу квадратов в полученной диаграмме.
Страница:
<< 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 52]
Фильтр
