Каталог по темам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 53]

Задача 57047

Темы:	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Пусть $\alpha$ = $\pi$ /7. Докажите, что ${\frac{1}{\sin\alpha }}$ = ${\frac{1}{\sin 2\alpha }}$ + ${\frac{1}{\sin 3\alpha }}$ .

Решение

Пусть правильный семиугольник A₁...A₇ вписан в окружность. Применяя теорему Птолемея к четырехугольнику A₁A₃A₄A₅, получаем A₁A₃^.A₅A₄ + A₃A₄^.A₁A₅ = A₁A₄^.A₃A₅, т. е. sin 2 $\alpha$ sin $\alpha$ + sin $\alpha$ sin 3 $\alpha$ = sin 3 $\alpha$ sin 2 $\alpha$ .

Прислать комментарий

Задача 86482

[Караван верблюдов]

Темы:	[	Задачи на движение	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8

По пустыне равномерно движется караван верблюдов длиной в 1 км. Всадник проехал от конца каравана к началу и вернулся к концу каравана. За это время караван прошел 1 км. Какой путь проехал всадник, если скорость его была постоянной?

Решение

Примем скорость каравана за единицу, а скорость всадника обозначим v. Тогда время, затраченное на проезд от конца каравана к началу, равно а время, затраченное на проезд от начала к концу, равно По условию Это уравнение преобразуется к виду
v² – 2v – 1 = 0. Отсюда то есть за то время, что караван проходит 1 км, всадник проедет указанное в ответе расстояние.

Ответ

км.

Прислать комментарий

Задача 61172

Темы:	[	Тригонометрические уравнения	]
Темы:	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Найдите все корни x_k уравнения

cos x + cos 2x + cos 3x + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$ = 0.

Какому алгебраическому уравнению удовлетворяют числа 2 cos x_k?

Ответ

x_k = ${\dfrac{2k\pi}{7}}$ (k = 1, 2, 3); x³ + x² - 2x - 1 = 0.

Прислать комментарий

Задача 61510

Темы:	[	Раскладки и разбиения	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

На доске написано n натуральных чисел. Пусть a_k – количество тех из них, которые больше k. Исходные числа стерли и вместо них написали все положительные a_k. Докажите, что если с новыми числами сделать то же самое, то на доске окажется исходный набор чисел.
Например, для чисел 5, 3, 3, 2, получается следующая цепочка (5, 3, 3, 2) → (4, 4, 3, 1, 1) → (5, 3, 3, 2).

Подсказка

Проследите за изменением диаграммы Юнга.

Решение

См. задачу 98424.

Прислать комментарий

Задача 67047

Темы:	[	Инварианты и полуинварианты (прочее)	]
Темы:	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Лукин М.

Дан отрезок [0, 1]. За ход разрешается разбить любой из имеющихся отрезков точкой на два новых отрезка и записать на доску произведение длин этих двух новых отрезков.
Докажите, что ни в какой момент сумма чисел на доске не превысит ½.

Решение

Будем писать на доске удвоенные произведения длин и докажем, что их сумма меньше 1. Заведём вторую доску, на которой будем записывать квадраты всех отрезков разбиения. Вначале на ней записано число 1. В дальнейшем при разбиении отрезка длины $a$ на отрезки длин $b$ и $c$ на первой доске появится число 2$bc$, а на второй число $a^2 = (b + c)^2$ заменится на $b^2$ и $c^2$. Таким образом, общая сумма чисел на обеих досках не изменится, то есть останется равной 1. Поскольку сумма чисел на второй доске положительна, сумма чисел на первой всегда будет меньше 1.

Прислать комментарий

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 53]