Версия для печати
Убрать все задачи

---

Лист клетчатой бумаги размером 5×n заполнен карточками размером 1×2 так, что каждая карточка занимает целиком две соседние клетки. На каждой карточке написаны числа 1 и –1. Известно, что произведения чисел по строкам и столбцам образовавшейся таблицы положительны. При каких n это возможно?

   Решение

---

Доказать, что при любых натуральных m и n число  10^m + 1  не делится на  10ⁿ − 1.

   Решение

---

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что BA₁/A₁C = CB₁/B₁A = AC₁/C₁B. Докажите, что центры масс треугольников ABC и A₁B₁C₁ совпадают.

   Решение

---

Можно ли в центры 16 клеток шахматной доски 8×8 вбить гвозди так, чтобы никакие три гвоздя не лежали на одной прямой?

   Решение

---

Дана линейка с делениями через 1 см. Постройте биссектрису данного угла.

   Решение

Страница: << 163 164 165 166 167 168 169 >> [Всего задач: 1371]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116729

Темы:   [ Покрытия ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Ряды с неотрицательными членами ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

а) В бесконечной последовательности бумажных прямоугольников площадь n-го прямоугольника равна n². Обязательно ли можно покрыть ими плоскость? Наложения допускаются.

б) Дана бесконечная последовательность бумажных квадратов. Обязательно ли можно покрыть ими плоскость (наложения допускаются), если известно, что для любого числа N найдутся квадраты суммарной площади больше N?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77899

Тема:   [ Разрезания (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10

Докажите, что к квадрату нельзя приложить более 8 не налегающих друг на друга квадратов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116183

Темы:   [ Комбинаторная геометрия (прочее) ] [ Покрытия ] [ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ] [ Композиции симметрий ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5 Классы: 9,10

На плоскости расположен круг. Какое наименьшее количество прямых надо провести, чтобы, симметрично отражая данный круг относительно этих прямых (в любом порядке конечное количество раз), можно было накрыть им любую заданную точку плоскости?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73538

Темы:   [ Раскраски ] [ Целочисленные решетки ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Шестиугольники ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

а) На рис. 1 плоскость покрыта квадратами пяти цветов. Центры квадратов одного и того же цвета расположены в вершинах сетки из одинаковых квадратов. При каком числе n цветов возможно аналогичное заполнение плоскости?    б) На рис. 2 плоскость покрыта шестиугольниками семи цветов так, что центры шестиугольников одного и того же цвета образуют вершины решётки из одинаковых правильных треугольников. При каком числе n цветов возможно аналогичное построение?    Примечание. Имеются в виду только такие заполнения плоскости фигурками (квадратами или шестиугольниками), при котором сетка, соответствующая какому-то одному цвету, имеет такие же размеры и направления сторон квадратов (или треугольников), как и сетка, соответствующая любому другому цвету (то есть все сетки должны получаться друг из друга параллельным сдвигом).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73545

Темы:   [ Покрытия ] [ Теорема Хелли ] [ Общие четырехугольники ] [ Перпендикуляр и наклонная ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 163 164 165 166 167 168 169 >> [Всего задач: 1371]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями