Страница:
<< 11 12 13 14
15 16 17 >> [Всего задач: 96]
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов: x² + a1x + b1, x² + a2x + b2, ..., x² + a9x + b9.
Известно, что последовательности a1, a2, ..., a9 и b1, b2, ..., b9 – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма всех девяти трёхчленов имеет хотя бы один корень. Какое наибольшее количество исходных трёхчленов может не иметь корней?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Многочлен p и число a таковы, что для любого числа x верно равенство p(x) = p(a – x).
Докажите, что p(x) можно представить в виде многочлена от (x – a/2)².
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Существует ли кусочно-линейная функция f, определённая на отрезке [–1, 1] (включая концы), для которой f(f(x))= – x при всех x?
(Функция называется кусочно-линейной, если её график есть объединение
конечного числа точек и интервалов прямой; она может быть разрывной.)
Пусть ABC – остроугольный треугольник, C' и A' – произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' – середина стороны AC.
а) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC.
б) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти
площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек
A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Пусть x, y, z – любые числа из интервала (0, π/2). Докажите неравенство 
Страница:
<< 11 12 13 14
15 16 17 >> [Всего задач: 96]
Фильтр
