Страница:
<< 13 14 15 16
17 18 19 >> [Всего задач: 99]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Дан многочлен P(x) степени 2003 с действительными
коэффициентами, причем старший коэффициент равен 1. Имеется бесконечная
последовательность целых чисел a1, a2, ..., такая, что P(a1) = 0,
P(a2) = a1, P(a3) = a2 и т. д. Докажите, что не все
числа в последовательности a1, a2, ... различны.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Докажите, что если положительная квадратичная иррациональность α = 
разлагается в чисто периодическую цепную дробь, то сопряженная ей квадратичная иррациональность α' = 
принадлежит интервалу (– 1, 0).
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
На биссектрисе AA1 треугольника ABC выбрана точка X. Прямая BX пересекает сторону AC в точке B1, а прямая CX пересекает сторону AB в точке C1. Отрезки A1B1 и CC1 пересекаются в точке P, а отрезки A1C1 и BB1 пересекаются в точке Q. Докажите, что углы PAC и QAB равны.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Можно ли замостить плоскость параболами, среди которых нет равных? (Требуется, чтобы каждая точка плоскости принадлежала ровно одной параболе и чтобы ни одна парабола не переводилась ни в какую другую параболу движением.)
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
На плоскости расположено несколько прямых и точек. Доказать, что на плоскости
найдётся точка
A, не совпадающая ни с одной из данных точек, расстояние от
которой до любой из данных точек больше расстояния от неё до любой из данных
прямых.
Страница:
<< 13 14 15 16
17 18 19 >> [Всего задач: 99]
Фильтр
