Каталог по темам

Задачи

Страница: << 42 43 44 45 46 47 48 >> [Всего задач: 838]

Задача 110778

Темы:	[	Ломаные	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Системы точек	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Hiacinthos

Пять прямых проходят через одну точку. Докажите, что существует замкнутая пятизвенная ломаная, вершины и середины звеньев которой лежат на этих прямых, причём на каждой прямой лежит ровно по одной вершине.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110803

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Высоты AA₁, BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H; точки A₂, B₂ и C₂ – середины отрезков AH, BH и CH соответственно. Рассмотрим шестиугольник, образованный пересечением треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂. Докажите, что его диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111595

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
Темы:	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Отрезки AB и CD не параллельны и не пересекаются. Точка P лежит на отрезке AB, а точка Q – на отрезке CD. Точки K, L, M и N – середины отрезков AQ, BQ, CP и DP соответственно. Докажите, что отрезки KL, MN и PQ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111845

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Астахов В.

В треугольнике ABC проведена биссектриса BB₁. Перпендикуляр, опущенный из точки B₁ на BC, пересекает дугу BC описанной окружности треугольника ABC в точке K. Перпендикуляр опущенный из точки B на AK пересекает AC в точке L. Докажите что точки K, L и середина дуги AC (не содержащей точку B) лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111847

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Филимонов В.П.

Дан остроугольный треугольник ABC. Точки M и N – середины сторон AB и BC соответственно, точка H – основание высоты, опущенной из вершины B. Описанные окружности треугольников AHN и CHM пересекаются в точке P (P ≠ H). Докажите, что прямая PH проходит через середину отрезка MN.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 42 43 44 45 46 47 48 >> [Всего задач: 838]