Каталог по темам

Задачи

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 831]

Задача 66659

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Авторы: Полянский А., Полянский Н.

На сторонах $AB,BC,CA$ треугольника $ABC$ выбраны точки $C_1,A_1,B_1$ так, что отрезки $AA_1,BB_1,CC_1$ пересекаются в одной точке. Лучи $B_1A_1$ и $B_1C1$ пересекают описанную окружность в точках $A_2$ и $C_2$. Докажите, что точки $A,C,$ точка пересечения $A_2C_2$ с $BB_1$ и середина $A_2C_2$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 107783

Темы:	[	Ломаные	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Шахматная раскраска	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Шаповалов А.В., Лебедев А.В.

На плоскости нарисована замкнутая самопересекающаяся ломаная. Она пересекает каждое свое звено ровно один раз, причём через каждую точку самопересечения проходят ровно два звена. Может ли каждая точка самопересечения делить оба этих звена пополам? (Нет самопересечений в вершинах и звеньев с общим отрезком.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 109765

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Наименьшая или наибольшая площадь (объем)	]
	[	Раскраски	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Авторы: Дольников В.Л., Богданов И.И.

На плоскости взято конечное число красных и синих прямых, среди которых нет параллельных, так, что через каждую точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110781

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 5+
Классы: 10

Автор: Заславский А.А.

Прямые, содержащие медианы треугольника ABC, вторично пересекают его описанную окружность в точках A₁, B₁, C₁. Прямые, проходящие через A, B, C и параллельные противоположным сторонам, пересекают ее же в точках A₂, B₂, C₂. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 103820

Темы:	[	Трапеции (прочее)	]
Темы:	[	Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы.	]

Сложность: 2-
Классы: 7

Автор: Ковальджи А.К.

Четырёхугольник с длинами сторон 1, 1, 1 и 2 имеет две параллельные стороны и разбит на четыре одинаковые фигуры (см. рисунок). В результате верхняя сторона разделилась на четыре отрезка. Найдите отношение длины большего отрезка к меньшему.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 831]