Каталог по темам

Задачи

Страница: << 76 77 78 79 80 81 82 >> [Всего задач: 829]

Задача 64458

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Ивлев Ф.

Дан неравнобедренный треугольник ABC. Точка O – центр его описанной окружности, а точка K – центр описанной окружности ω треугольника BCO. Высота треугольника ABC, проведенная из точки A, пересекает окружность ω в точке P. Прямая PK пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках E и F. Докажите, что один из отрезков EP и FP равен отрезку PA.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64631

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Точка Лемуана	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Садыков Р.

Треугольник ABC вписан в окружность Ω с центром O. Окружность Ω₁, построенная на AO как на диаметре, пересекает описанную окружность Ω₂ треугольника OBC в точке S, отличной от O. Касательные к Ω в точках B и C пересекаются в точке P. Докажите, что точки A, S и P лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64736

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Ясинский В.

На прямой лежат точки X, Y, Z (именно в таком порядке). Треугольники XAB, YBC, ZCD – правильные, причём вершины первого и третьего ориентированы против часовой стрелки, а второго по часовой стрелке. Докажите, что прямые AC, BD и XY пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64805

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Нилов Ф.

В четырёхугольнике ABCD углы A и C – прямые. На сторонах AB и CD как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках X и Y. Докажите, что прямая XY проходит через середину K диагонали AC

Прислать комментарий

Решение

Задача 64874

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]
	[	Две пары подобных треугольников	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Плотников М.

Точки K, L, M и N на сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD образуют еще один квадрат. DK пересекает NM в точке E, а KC пересекает LM в точке F.
Докажите, что EF || AB.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 76 77 78 79 80 81 82 >> [Всего задач: 829]