Страница: << 152 153 154 155 156 157 158 >> [Всего задач: 831]
Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AC, AB и BC в точках K, M и N соответственно. Медиана BB1 треугольника пересекает MN в точке D. Докажите, что точка O лежит на прямой DK.
Пусть BM – медиана остроугольного треугольника ABC.
Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABM, и касательная в точке C к описанной окружности треугольника BCM, пересекаются в точке D. Докажите, что точка K, симметричная точке D относительно прямой AC лежит на прямой BM.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Треугольники ABC и A1B1C1 подобны и по-разному ориентированы. На отрезке AA1 взята такая точка A', что AA' : A1A' = BC : B1C1. Аналогично строим B' и C'. Докажите, что A', B' и C' лежат на одной прямой.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Пусть AL и AK – внутренняя и внешняя биссектрисы треугольника ABC, P – точка пересечения касательных к описанной окружности в точках B и C. Перпендикуляр, восставленный из точки L к BC, пересекает прямую AP в точке Q. Докажите, что Q лежит на средней линии треугольника LKP.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается
стороны AC в точке K. Вторая окружность, также с центром O,
пересекает все стороны треугольника ABC. Пусть E и F –
её точки пересечения со сторонами соответственно AB и BC, ближайшие к вершине B; B1 и B2 – точки её пересечения со стороной AC, B1 – ближе к A. Докажите, что точки B, K и точка P пересечения отрезков B2E и B1F лежат на одной прямой.
Страница: << 152 153 154 155 156 157 158 >> [Всего задач: 831]
Фильтр
