Страница: << 98 99 100 101 102 103 104 >> [Всего задач: 5337]      

Биссектриса и высота, проведённые из одной вершины некоторого треугольника, делят его противоположную сторону на три отрезка.
Может ли оказаться, что из этих отрезков можно сложить треугольник?

Прислать комментарий

Решение

Окружность, проходящая через вершину $B$ прямого угла и середину гипотенузы прямоугольного треугольника $ABC$, пересекает катеты этого треугольника в точках $M$ и $N$. Оказалось, что $AC = 2MN$. Докажите, что $M$ и $N$ — середины катетов треугольника $ABC$.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике $ABC$ вневписанная окружность, лежащая напротив угла $C$, касается стороны $AB$ в точке $T$. Пусть $J$ – центр вневписанной окружности, лежащей напротив угла $A$, a $M$ – середина $AJ$. Докажите, что $MT=MC$.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике $ABC$ $A_M$ – середина стороны $BC$, $A_H$ – основание высоты, опущенной на эту сторону. Аналогично определяются точки $B_M$, $B_H$, $C_M$, $C_H$. Докажите, что одно из отношений $A_MA_H:A_HA$, $B_MB_H:B_HB$, $C_MC_H:C_HC$ равно сумме двух других.

Прислать комментарий

Решение

Внутри треугольника $ABC$ взята такая точка $M$, что $AM = \frac{1}{2} AB$, а $CM = \frac{1}{2} BC$. Точки $C_0$ и $A_0$ взяты на отрезках $AB$ и $CB$ соответственно, причем $BC_0 : AC_0 = BA_0 : CA_0 = 3$. Докажите, что $M$ равноудалена от $C_0$ и $A_0$.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 98 99 100 101 102 103 104 >> [Всего задач: 5337]