Каталог по темам

Задачи

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 355]

Задача 117007

Темы:	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Углы между биссектрисами	]

Сложность: 3+
Классы: 5,6,7

Автор: Мухин Д.Г.

Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке I, ∠ABC = 120°. На продолжениях сторон AB и CB за точку B отмечены соответственно точки P и Q так, что AP = CQ = AC. Докажите, что угол PIQ – прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67500

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Евдокимов М.А.

На стороне $CD$ прямоугольника $ABCD$ взята точка $K$. Из вершины $B$ опустили перпендикуляр $BH$ на отрезок $AK$. Оказалось, что отрезки $AK$ и $BH$ делят прямоугольник на три части, в каждую из которых можно вписать круг (см. рисунок). Докажите, что если круги, касающиеся стороны $CD$, равны, то и третий круг им равен.

Прислать комментарий

Решение

Задача 52468

[Теорема Птолемея]

Темы:	[	Теорема Птолемея	]
	[	Две пары подобных треугольников	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Площадь четырехугольника	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма произведений длин двух пар его противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.

Прислать комментарий

Решение

Задача 52494

[Задача Архимеда]

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Ломаные	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

В дугу AB окружности вписана ломаная AMB из двух отрезков (AM > MB).
Докажите, что основание перпендикуляра KH, опущенного из середины K дуги AB на отрезок AM, делит ломаную пополам.

Прислать комментарий

Решение

Задача 54790

Темы:	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Острый угол при вершине A ромба ABCD равен 40°. Через вершину A и середину M стороны CD проведена прямая, на которую опущен перпендикуляр BH из вершины B. Найдите угол AHD.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 355]