Каталог по темам

Задачи

Страница: << 66 67 68 69 70 71 72 >> [Всего задач: 357]

Задача 109531

Темы:	[	Сфера, вписанная в многогранный угол	]
	[	Касательные к сферам	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Четырехугольная пирамида	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Соловьев И.

Точка O – основание высоты четырёхугольной пирамиды. Сфера с центром O касается всех боковых граней пирамиды. Точки A, B, C и D взяты последовательно по одной на боковых ребрах пирамиды так, что отрезки AB, BC и CD проходят через три точки касания сферы с гранями.
Докажите, что отрезок AD проходит через четвёртую точку касания.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111712

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Дана окружность и точка O на ней. Вторая окружность с центром O пересекает первую в точках P и Q. Точка C лежит на первой окружности, а прямые CP, CQ вторично пересекают вторую окружность в точках A и B. Докажите, что AB = PQ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116675

Темы:	[	Параллелограммы (прочее)	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Автор: Волчкевич М.А.

В параллелограмме ABCD опустили перпендикуляр BH на сторону AD. На отрезке BH отметили точку M, равноудалённую от точек C и D. Пусть точка K – середина стороны AB. Докажите, что угол MKD прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56500

Темы:	[	Шестиугольники	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R с центром O, причём AB = CD = EF = R. Докажите, что точки попарного пересечения описанных окружностей треугольников BOC, DOE и FOA, отличные от точки O, являются вершинами правильного треугольника со стороной R.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65812

Темы:	[	Cфера, вписанная в призму	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]
	[	Касательные к сферам	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Точка Торричелли	]
	[	Окружность Аполлония	]
	[	Подерный (педальный) треугольник	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Богданов И.И.

В призму ABCA'B'C' вписана сфера, касающаяся боковых граней BCC'B', CAA'C, ABB'A' в точках A₀, B₀, C₀ соответственно. При этом
∠A₀BB' = ∠B₀CC' = ∠C₀AA'.
а) Чему могут равняться эти углы?
б) Докажите, что отрезки AA₀, BB₀, CC₀ пересекаются в одной точке.
в) Докажите, что проекции центра сферы на прямые A'B', B'C', C'A' образуют правильный треугольник.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 66 67 68 69 70 71 72 >> [Всего задач: 357]