Страница: << 66 67 68 69 70 71 72 >> [Всего задач: 1337]      

В треугольнике ABC взята такая точка O, что  ∠COA = ∠B + 60°,  ∠COB = ∠A + 60°, AOB = ∠C + 60°.  Докажите, что если из отрезков AO, BO и CO можно составить треугольник, то из высот треугольника ABC тоже можно составить треугольник и эти треугольники подобны.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC, прямая AD пересекается с биссектрисой угла C в точке O. Известно, что точки C, D и O лежат на окружности, центр которой находится на стороне AC,  AC : AB = 3 : 2,  а угол DAC в три раза больше угла DAB. Найдите косинус угла ACB.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки касания вписанной окружности со стороной BC на прямую AC, проходит через центр вписанной окружности треугольника A₁CB₁.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для любого треугольника проекция диаметра описанной окружности, перпендикулярного одной стороне треугольника, на прямую, содержащую вторую сторону, равна третьей стороне.

Прислать комментарий

Решение

На прямой, проходящей через центр O окружности радиуса 12, взяты точки A и B, причём OA = 15, AB = 5 и A лежит между O и B. Из точек A и B проведены касательные к окружности, точки касания которых лежат по одну сторону от прямой OB. Найдите площадь треугольника ABC, где C — точка пересечения этих касательных.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 66 67 68 69 70 71 72 >> [Всего задач: 1337]