Каталог по темам

Задачи

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 372]

Задача 98455

Темы:	[	Неравенства для площади треугольника	]
	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]
	[	Монотонность, ограниченность	]
	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Черепанов Е.

Пусть ABC – остроугольный треугольник, C' и A' – произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' – середина стороны AC.
а) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC.
б) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108054

Темы:	[	Неравенства для элементов треугольника (прочее)	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка D, отличная от B, причём AD : DC = AB : BC. Докажите, что угол C тупой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108953

Темы:	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На сторонах AB и BC треугольника ABC в котором ∠ C = 40° выбраны точки D и E, для которых ∠BED = 20°. Докажите, что AC + EC > AD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115353

Темы:	[	Неравенства для углов треугольника	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Монотонность и ограниченность	]
	[	Тригонометрические неравенства	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

Углы треугольника α, β, γ удовлетворяют неравенствам sin α > cos β, sin β > cos γ, sin γ > cos α . Докажите, что треугольник остроугольный.

Прислать комментарий Решение

Задача 116159

Тема:

[

Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Акопян А.В.

Один треугольник лежит внутри другого.
Докажите, что хотя бы одна из двух наименьших сторон (из шести) является стороной внутреннего треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 372]