Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 247]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 55510

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

Найдите углы остроугольного треугольника ABC, если известно, что его биссектриса AD равна стороне AC и перпендикулярна отрезку OH, где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55523

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Перенос помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вспомогательная окружность ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Из вершины B параллелограмма ABCD проведены его высоты BK и BH. Известны отрезки KH = a и BD = b. Найдите расстояние от точки B до точки пересечения высот треугольника BKH.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115448

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с диаметром AD ; O  — точка пересечения его диагоналей AC и BD является центром другой окружности, касающейся стороны BC . Из вершин B и С проведены касательные ко второй окружности, пересекающиеся в точке T . Докажите, что точка T лежит на отрезке AD .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65809

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Центр поворотной гомотетии ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

BB₁ и CC₁ – высоты треугольника ABC. Касательные к описанной окружности треугольника AB₁C₁ в точках B₁ и C₁ пересекают прямые AB и AC в точках M и N соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников AMN и AB₁C₁ лежит на прямой Эйлера треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73714

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Итерации ] [ Неравенства для углов треугольника ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Признаки подобия ] [ Сжимающие отображения и неподвижные точки ] [ Композиции движений. Теорема Шаля ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Для каждого непрямоугольного треугольника T обозначим через T₁ треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T; через T₂ – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T₁; аналогично определим треугольники T₃, T₄ и так далее. Каким должен быть треугольник T, чтобы
  а) треугольник T₁ был остроугольным?
  б) в последовательности T₁, T₂, T₃, ... встретился прямоугольный треугольник T_n (и таким образом треугольник T_n+1 не определён)?
  в) треугольник T₃ был подобен треугольнику T?
  г) Для каждого натурального числа n выясните, сколько существует неподобных друг другу треугольников T, для которых треугольник T_n подобен треугольнику Т.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 247]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями