Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 247]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64913

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Дан треугольник ABC и точка P. Точки A', B', C' – проекции P на прямые BC, CA, AB. Прямая, проходящая через P и параллельная AB, вторично пересекает описанную окружность треугольника PA'B' в точке C₁. Точки A₁, B₁ определены аналогично. Докажите, что
  а) прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке;
  б) треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65618

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

В треугольник АВС вписана окружность. Из середины каждого отрезка, соединяющего две точки касания, проводится перпендикуляр к противолежащей стороне. Докажите, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66229

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вспомогательная окружность ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

В треугольнике ABC  O – центр описанной окружности, H – ортоцентр. Через середину OH параллельно BC проведена прямая, пересекающая стороны AB и AC в точках D и E. Оказалось, что O – центр вписанной окружности треугольника ADE. Найдите углы треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111671

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Докажите, что проекции основания высоты треугольника на стороны, её заключающие, и на две другие высоты лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115767

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Отрезки, соединяющие внутреннюю точку выпуклого неравностороннего n-угольника с его вершинами, делят n-угольник на n равных треугольников.
При каком наименьшем n это возможно?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 247]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями