Каталог по темам

Задачи

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 247]

Задача 108111

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Автор: Заславский А.А.

Радиус описанной окружности треугольника ABC равен радиусу окружности, касающейся стороны AB в точке C' и продолжений двух других сторон в точках A' и B' . Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC совпадает с ортоцентром (точкой пересечения высот) треугольника A'B'C' .

Прислать комментарий Решение

Задача 65803

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

В треугольнике ABC O, M, N – центр описанной окружности, центр тяжести и точка Нагеля соответственно.
Докажите, что угол MON прямой тогда и только тогда, когда один из углов треугольника равен 60°.

Прислать комментарий Решение

Задача 116688

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
	[	Соображения непрерывности	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Заславский А.А.

Дан треугольник ABC. Прямая l касается вписанной в него окружности. Обозначим через l_a, l_b, l_c прямые, симметричные l относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116918

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10

Автор: Швецов Д.В.

На стороне BC квадрата ABCD выбрали точку M. Пусть X, Y, Z – центры окружностей, вписанных в треугольники ABM, CMD, AMD соответственно; H_x, H_y, H_z – ортоцентры треугольников AXB, CYD, AZD соответственно. Докажите, что точки H_x, H_y, H_z лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115398

Темы:	[	Сфера, описанная около тетраэдра	]
	[	Теорема о трех перпендикулярах	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Богданов И.И.

В треугольной пирамиде ABCD все плоские углы при вершинах — не прямые, а точки пересечения высот в треугольниках ABC , ABD , ACD лежат на одной прямой. Докажите, что центр описанной сферы пирамиды лежит в плоскости, проходящей через середины ребер AB , AC , AD .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 247]