Страница:
<< 3 4 5 6
7 8 9 >> [Всего задач: 370]
Доказать, что из любых 2001 целых чисел найдутся два, разность которых делится на 2000.
Решение
См. задачу 21972.
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9
|
Докажите, что из любых семи натуральных чисел (не обязательно идущих подряд)
можно выбрать три числа, сумма которых делится на 3.
Решение
По принципу Дирихле, из семи чисел можно выбрать три, дающие одинаковые остатки при делении на 3. Их сумма делится на 3.
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9
|
10 друзей послали друг другу праздничные открытки, так что каждый послал
пять открыток.
Докажите, что найдутся двое, которые послали открытки друг другу.
Решение
Предположим, что это не так, то есть не существует пары друзей, которые послали открытки друг другу. Каждый из друзей послал открытки пятерым, следовательно, он мог получить не более четырёх открыток. Значит, количество полученных открыток не больше чем 40, в то время как отправлено было 5·10 = 50 открыток. Противоречие.
а) В каждой вершине куба написано число 1 или число 0. На каждой грани куба написана сумма четырёх чисел, написанных в вершинах этой грани. Может ли оказаться, что все числа, написанные на гранях, различны?
б) Тот же вопрос, если в вершинах написаны числа 1 или –1.
Решение
а) На каждой грани написано одно из пяти чисел: 0, 1, 2, 3 или 4. Но граней всего шесть, и значит, на некоторых двух гранях будут написаны совпадающие числа.
б) Решение такое же, только на каждой грани написано одно из пяти чисел
–4, –2, 0, 2, 4.
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8
|
В классе
25
учеников. Известно, что у любых двух девочек
класса количество друзей-мальчиков из этого класса не совпадает.
Какое наибольшее количество девочек может быть в этом классе?
Решение
Если в классе
13
девочек, то количество их друзей-мальчиков из
этого класса может быть любым целым числом от
0
до
12
(
13
различных вариантов), что соответствует условию. Если же девочек
будет больше
13
(хотя бы
14
), то мальчиков в классе будет не
больше
11
, а значит, различных вариантов количества
друзей-мальчиков будет не больше, чем
12
(от
0
до
11
).
Поэтому, хотя бы у двух девочек окажется одно и то же количество
друзей-мальчиков, что противоречит условию.
Ответ
13.
Страница:
<< 3 4 5 6
7 8 9 >> [Всего задач: 370]
Фильтр
