Каталог по темам

Задачи

Страница: << 220 221 222 223 224 225 226 >> [Всего задач: 2992]

Задача 58393

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

а) Пусть $\varepsilon$ = ${\frac{1}{2}}$ + ${\frac{i\sqrt{3}}{2}}$ . Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a + $\varepsilon^{2}_{}$ b + $\varepsilon^{4}_{}$ c = 0 или a + $\varepsilon^{4}_{}$ b + $\varepsilon^{2}_{}$ c = 0.
б) Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a² + b² + c² = ab + bc + ac.

Прислать комментарий Решение

Задача 58394

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Пусть точки A^*, B^*, C^*, D^* являются образами точек A, B, C, D при инверсии. Докажите, что:
а) ${\frac{AC}{AD}}$ : ${\frac{BC}{BD}}$ = ${\frac{A^*C^*}{A^*D^*}}$ : ${\frac{B^*C^*}{B^*D^*}}$ ;
б) $\angle$ (DA, AC) - $\angle$ (DB, BC) = $\angle$ (D^*B^*, B^*C^*) - $\angle$ (D^*A^*, A^*C^*).

Прислать комментарий Решение

Задача 64399

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Карлюченко А.

Пусть O – одна из точек пересечения окружностей ω₁ и ω₂. Окружность ω с центром O пересекает ω₁ в точках A и B, а ω₂ – в точках C и D. Пусть X – точка пересечения прямых AC и BD. Докажите, что все такие точки X лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65019

Темы:	[	Хорды и секущие (прочее)	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Точка Лемуана	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Прокопенко Д.

На хорде AC окружности ω выбрали точку B. На отрезках AB и BC как на диаметрах построили окружности ω₁ и ω₂ с центрами O₁ и O₂, которые пересекают ω второй раз в точках D и E соответственно. Лучи O₁D и O₂E пересекаются в точке F. Лучи AD и CE пересекаются в точке G.
Докажите, что прямая FG проходит через середину AC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65370

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Квадратные неравенства и системы неравенств	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Полянский А., Харитонов М.

На плоскости нарисованы 100 кругов, каждые два из которых имеют общую точку (возможно, граничную).
Докажите, что найдётся точка, принадлежащая не менее чем 15 кругам.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 220 221 222 223 224 225 226 >> [Всего задач: 2992]