Страница: << 188 189 190 191 192 193 194 >> [Всего задач: 1288]      

Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная медиане BM. Эта прямая пересекает высоты, выходящие из вершин A и C (или их продолжения), в точках K и N. Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников ABK и CBN соответственно. Докажите, что  O₁M = O₂M.

Прислать комментарий

Решение

В угол с вершиной A вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках B и C. Прямая, проходящая через A, пересекает окружность в точках D и E. Хорда BX параллельна прямой DE. Докажите, что отрезок XC проходит через середину отрезка DE.

Прислать комментарий

Решение

Дан вписанный четырёхугольник АВСD. Продолжения его противоположных сторон пересекаются в точках P и Q. Пусть К и N – середины диагоналей.
Докажите, что сумма углов PKQ и PNQ равна 180°.

Прислать комментарий

Решение

Внутри выпуклого четырехугольника A₁A₂B₂B₁ нашлась такая точка C, что треугольники CA₁A₂ и CB₂B₁ – правильные. Точки C₁ и C₂ симметричны точке C относительно прямых A₂B₂ и A₁B₁ соответственно. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. На отрезке CL выбрана точка M. Касательная в точке B к описанной окружности Ω треугольника ABC пересекает луч CA в точке P. Касательные в точках B и M к описанной окружности Γ треугольника BLM, пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые PQ и BL параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 188 189 190 191 192 193 194 >> [Всего задач: 1288]