Страница: << 184 185 186 187 188 189 190 >> [Всего задач: 1036]      

Треугольник ABC вписан в окружность. Через точки A и B проведены касательные к этой окружности, которые пересекаются в точке P. Точки X и Y — ортогональные проекции точки P на прямые AC и BC. Докажите, что прямая XY перпендикулярна медиане треугольника ABC, проведенной из вершины C.

Прислать комментарий

Решение

Дана окружность, точка A на ней и точка M внутри нее. Рассматриваются хорды BC , проходящие через M . Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон всех треугольников ABC , касаются некоторой фиксированной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC . Вневписанная окружность касается его стороны BC в точке A₁ и продолжений двух других сторон. Другая вневписанная окружность касается стороны AC в точке B₁ . Отрезки AA₁ и BB₁ пересекаются в точке N . На луче AA₁ отметили точку P , такую что AP=NA₁ . Докажите, что точка P лежит на вписанной в треугольник окружности.

Прислать комментарий

Решение

Четырехугольник $ABCD$ описан около окружности $\omega$ с центром $I$. Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$, $AB$ и $CD$ – в точке $E$, $AD$ и $BC$ – в точке $F$. Точка $K$ на описанной окружности треугольника $EIF$ такова, что $\angle IKP=90^{\circ}$. Луч $PK$ пересекает $\omega$ в точке $Q$. Докажите, что описанная окружность треугольника $EQF$ касается $\omega$.

Прислать комментарий

Решение

Даны прямая l и точки A и B по одну сторону от нее. Пусть A₁ и B₁ — проекции этих точек на прямую l. С помощью циркуля и линейки постройте на прямой l такую точку M, чтобы угол AMA₁ был вдвое меньше угла BMB₁.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 184 185 186 187 188 189 190 >> [Всего задач: 1036]