Страница: << 65 66 67 68 69 70 71 >> [Всего задач: 996]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116565

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

На окружности, описанной около прямоугольника ABCD, выбрана точка K. Оказалось, что прямая CK пересекает отрезок AD в такой точке M, что
AM : MD = 2.  Пусть O – центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника OKD лежит на описанной окружности треугольника COD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116647

Темы:   [ Параллелограммы (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

На стороне BC параллелограмма ABCD  (∠A < 90°)  отмечена точка T так, что треугольник ATD – остроугольный. Пусть O₁, O₂ и O₃ – центры описанных окружностей треугольников ABT, DAT и CDT соответственно (см. рисунок).

Докажите, что ортоцентр треугольника O₁O₂O₃ лежит на прямой AD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116897

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Квадратный лист бумаги согнули по прямой так, что одна из вершин квадрата оказалась на несмежной стороне. При этом образовалось три треугольника. В эти треугольники вписали окружности (см. рис.). Докажите, что радиус одной из этих окружностей равен сумме радиусов двух других.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 52510

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Докажите, что в любом треугольнике ABC середина стороны BC лежит на отрезке, соединяющем точку пересечения высот с точкой окружности, описанной около этого треугольника, диаметрально противоположной вершине A, и делит этот отрезок пополам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 54358

Темы:   [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В ромбе ABCD угол ABC = 60^o. Окружность касается прямой AD в точке A, центр окружности лежит внутри ромба. Касательные к окружности, проведённые из точки C, перпендикулярны. Найдите отношение периметра ромба к длине окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 65 66 67 68 69 70 71 >> [Всего задач: 996]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями