Страница: << 101 102 103 104 105 106 107 >> [Всего задач: 1587]      

Внутри четырёхугольника $ABCD$ отметили точку $P$ такую, что $\angle APB + \angle CPD = 180^\circ$. Точки $P_a$, $P_b$, $P_c$, $P_d$ изогонально сопряжены $P$ в треугольниках $BCD$, $CDA$, $DAB$, $ABC$. Докажите, что точки пересечения диагоналей четырёхугольников $ABCD$ и $P_aP_bP_cP_d$ совпадают.

Прислать комментарий

Решение

Круглый пирог режут следующим образом. Вырезают сектор с углом , переворачивают его на другую сторону и весь пирог поворачивают на угол . Дано, что < < 180^o. Доказать, что после некоторого конечного числа таких операций каждая точка пирога будет находиться на том же месте, что и в начале.

Прислать комментарий

Решение

На лугу, имеющем форму квадрата, имеется круглая лунка. По лугу прыгает кузнечик. Перед каждым прыжком он выбирает вершину и прыгает по направлению к ней. Длина прыжка равна половине расстояния до этой вершины.
Сможет ли кузнечик попасть в лунку?

Прислать комментарий

Решение

В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка K . Окружность s1 проходит через точку K и касается прямых AB и AD , причём вторая точка пересечения s1 с диагональю AC лежит на отрезке AK . Окружность s2 проходит через точку K и касается прямых CB и CD , причём вторая точка пересечения s2 с диагональю AC лежит на отрезке KC . Докажите, что при всех положениях точки K на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей s1 и s2 , будут параллельны между собой.

Прислать комментарий

Решение

Выпуклый многоугольник M переходит в себя при повороте на угол 90^o . Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным , один из которых содержит M , а другой содержится в M .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 101 102 103 104 105 106 107 >> [Всего задач: 1587]