Страница:
<< 198 199 200 201
202 203 204 >> [Всего задач: 1032]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
В треугольник ABC вписана окружность ω с центром в точке I. Около треугольника AIB описана окружность Г. Окружности ω и Г пересекаются в точках X и Y. Общие касательные к окружностям ω и Г пересекаются в точке Z. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ, касаются.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Пусть A' – точка касания вневписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Прямая a проходит через точку A' и параллельна биссектрисе внутреннего угла A. Аналогично строятся прямые b и c. Докажите, что прямые a, b и c пересекаются в одной точке.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. Пусть ω – его описанная окружность, точка M – середина стороны BC, P – вторая точка пересечения описанной окружности треугольника AB1C1 и ω, T – точка пересечения касательных к ω, проведённых в точках B и C, S – точка пересечения AT и ω. Докажите, что P, A1, S и середина отрезка MT лежат на одной прямой.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 10,11
|
Каждой стороне
b выпуклого многоугольника
P поставлена в соответствие наибольшая из площадей треугольников, содержащихся в
P, одна из сторон которых совпадает с
b. Докажите, что сумма площадей, соответствующих всем сторонам
P, не меньше удвоенной площади многоугольника
P.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
|
В окружности с центром O проведена хорда AB и радиус OK,
пересекающий её под прямым углом в точке M. На большей дуге AB
окружности выбрана точка P, отличная от середины этой дуги. Прямая PM вторично пересекает окружность в точке Q, а прямая PK пересекает AB в точке R. Докажите, что KR > MQ.
Страница:
<< 198 199 200 201
202 203 204 >> [Всего задач: 1032]
Фильтр
