Страница:
<< 136 137 138 139
140 141 142 >> [Всего задач: 1032]
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
|
Хорды $AB$ и $CD$ окружности $\omega$ пересекаются в точке $E$, причем $AD = AE = EB$. На отрезке $CE$ отметили точку $F$, так что $ED = CF$. Биссектриса угла $AFC$ пересекает дугу $DAC$ в точке $P$. Докажите, что точки $A$, $E$, $F$ и $P$ лежат на одной окружности.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 10,11
|
В прямоугольном бильярде размером p×2q, где p и q – нечётные числа, сделаны лузы в каждом углу и в середине каждой стороны длины 2q. Из угла выпущен шарик под углом 45° к стороне. Доказать, что шарик обязательно попадёт в одну из средних луз.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
|
Три кузнечика сидят на прямой так, что два крайних отстоят на 1 м от среднего. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку
(если A прыгает через B в точку A1, то AB = BA1). Через некоторое время кузнечики оказались на тех же местах, что и вначале, но в другом порядке. Докажите, что поменялись местами крайние кузнечики.
Окружность пересекает каждую сторону ромба в двух точках и делит её на три
отрезка. Обойдём контур ромба, начав с какой-нибудь вершины, по часовой стрелке,
и покрасим три отрезка каждой стороны последовательно в красный, белый и синий
цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих.
F – выпуклая фигура с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии. Через точку M, лежащую внутри фигуры и отстоящую от осей на расстояния a и b, провели прямые, параллельные осям. Эти прямые делят F на четыре области. Найдите разность между суммой площадей большей и меньшей из областей и суммой площадей двух других.
Страница:
<< 136 137 138 139
140 141 142 >> [Всего задач: 1032]
Фильтр
