Версия для печати
Убрать все задачи

---

Хозяйка испекла для гостей пирог. За столом может оказаться либо p человек, либо q (p и q взаимно просты). На какое минимальное количество кусков (не обязательно равных) нужно заранее разрезать пирог, чтобы в любом случае его можно было раздать поровну?

   Решение

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 159]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98261

Темы:   [ Инварианты ] [ Четность и нечетность ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Композиция центральных симметрий ] [ Метод координат на плоскости ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Четыре кузнечика сидели в вершинах квадрата. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если A прыгает через B в точку A₁, то векторы     и     равны). Докажите, что три кузнечика не могут оказаться
  а) на одной прямой, параллельной стороне квадрата;
  б) на одной произвольной прямой.

 

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116074

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и K соответственно так, что  S_KMC + S_KAC = S_ABC.
Докажите, что все такие прямые MK проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64782

Темы:   [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Сферы (прочее) ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Сфера ω проходит через вершину S пирамиды SABC и пересекает рёбра SA, SB и SC вторично в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Сфера Ω, описанная около пирамиды SABC, пересекается с ω по окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости (ABC). Точки A₂, B₂ и C₂ симметричны точкам A₁, B₁ и C₁ относительно середин рёбер SA, SB и SC соответственно. Докажите, что точки A, B, C, A₂, B₂ и C₂ лежат на одной сфере.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65008

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Удвоение медианы ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная медиане BM. Эта прямая пересекает высоты, выходящие из вершин A и C (или их продолжения), в точках K и N. Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников ABK и CBN соответственно. Докажите, что  O₁M = O₂M.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66108

Темы:   [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Перпендикулярные прямые ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Производная и касательная ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Графики двух квадратных трёхчленов пересекаются в двух точках. В обеих точках касательные к графикам перпендикулярны.
Верно ли, что оси симметрии графиков совпадают?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 159]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями