Каталог по темам

Задачи

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 499]

Задача 66410

Темы:	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Фиксированы окружность, точка A на ней и точка K вне окружности. Секущая, проходящая через K, пересекает окружность в точках P и Q. Докажите, что ортоцентры треугольников APQ лежат на фиксированной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 66963

Темы:	[	ГМТ (прочее)	]
	[	Задачи на движение	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Заславский А.А.

Участники тараканьих бегов бегут по окружности в одном направлении, стартовав одновременно из точки $S$. Таракан $A$ бежит вдвое медленнее, чем $B$, и втрое медленнее, чем $C$. Точки $X$, $Y$ на отрезке $SC$ таковы, что $SX=XY=YC$. Прямые $AX$ и $BY$ пересекаются в точке $Z$. Найдите ГМТ пересечения медиан треугольника $ZAB$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67112

Темы:	[	ГМТ (прочее)	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Центр масс	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Заславский А.А., Reznik D.

Даны окружность $\omega$ и не лежащая на ней точка $P$. Пусть $ABC$ – произвольный правильный треугольник, вписанный в $\omega$, а точки $A'$, $B'$, $C'$ – проекции $P$ на прямые $BC$, $CA$, $AB$. Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников $A'B'C'$.

Прислать комментарий Решение

Задача 78083

Темы:	[	ГМТ с ненулевой площадью	]
Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 3+
Классы: 9

Все точки данного отрезка AB проектируются на всевозможные прямые, проходящие через данную точку O. Найти геометрическое место этих проекций.

Прислать комментарий Решение

Задача 107983

Темы:	[	Метод ГМТ	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Шарыгин И.Ф.

Для двух данных различных точек плоскости A и B найдите геометрическое место таких точек C, что треугольник ABC остроугольный, а его угол A - средний по величине.

Комментарий. Под средним по величине углом мы понимаем угол, который не больше одного из углов, и не меньше другого. Так, например, мы считаем, что у равностороннего треугольника любой угол - средний по величине.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 499]