Из четырёх фотографий можно составить три различных прямоугольника (см. рис.). Периметр какого-то одного из них равен 56 см. Найдите периметры остальных двух прямоугольников, если периметр фотографии равен 20 см.

                       

   Решение

Сколькими способами числа 2⁰, 2¹, 2², ..., 2²⁰⁰⁵ можно разбить на два непустых множества A и B так, чтобы уравнение  x² – S(A)x + S(B) = 0,  где S(M) – сумма чисел множества M, имело целый корень?

   Решение

Корни двух приведённых квадратных трёхчленов – отрицательные целые числа, причём один из этих корней – общий.
Могут ли значения этих трёхчленов в некоторой положительной целой точке равняться 19 и 98?

   Решение

В семиэтажном доме живут домовые. Лифт курсирует между первым и последним этажами, останавливаясь на каждом этаже. На каждом этаже, начиная с первого, в лифт заходил один домовой, но никто не выходил. Когда в лифт зашёл тысячный домовой, лифт остановился. На каком этаже это произошло?

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 75]      

На плоскости расположено 20 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, из них 10 синих и 10 красных.
Докажите, что можно провести прямую, по каждую сторону которой лежит пять синих и пять красных точек.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости отмечено 6 красных, 6 синих и 6 зеленых точек, причем никакие три из отмеченных точек не лежат на одной прямой. Докажите, что сумма площадей треугольников с вершинами одного цвета составляет не более четверти суммы площадей всех треугольников с отмеченными вершинами.

Прислать комментарий

Решение

На отрезке  [0, N]  отмечены его концы и еще две точки так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок  [0, N],  целые и взаимно просты в совокупности. Если нашлись такие две отмеченные точки A и B, что расстояние между ними кратно 3, то можно разделить отрезок AB на три равных части, отметить одну из точек деления и стереть одну из точек A, B. Верно ли, что за несколько таких действий можно отметить любую наперед заданную целую точку отрезка  [0, N]?

Прислать комментарий

Решение

На плоскости даны n  (n > 2)  точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколькими различными способами это множество точек можно разбить на два непустых подмножества так, чтобы выпуклые оболочки этих подмножеств не пересекались?

Прислать комментарий

Решение

В пространстве даны n точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат в одной плоскости). Через каждые три из них проведена плоскость. Докажите, что какие бы n-3 точки в пространстве ни взять, найдется плоскость из проведенных, не содержащая ни одной из этих n-3 точек.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 75]