Версия для печати
Убрать все задачи

---

На карусели с n сиденьями мальчик катался n сеансов подряд. После каждого сеанса он вставал и, двигаясь по часовой стрелке, пересаживался на другое сиденье. Число сидений карусели, мимо которых мальчик проходит при пересаживании, включая и то, на которое он садится, назовём длиной перехода. При каких n за n сеансов мальчик мог побывать на каждом сиденье, если длины всех n – 1  переходов различны и меньше n?

   Решение

---

Пусть a, b, c, d – такие вещественные числа, что  a³ + b³ + c³ + d³ = a + b + c + d = 0.
Докажите, что сумма каких-то двух из этих чисел равна нулю.

   Решение

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 146]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64921

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Формула Эйлера ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Две окружности радиуса 1 пересекаются в точках X, Y, расстояние между которыми тоже равно 1. Из точки C одной окружности проведены к другой касательные CA, CB, вторично пересекающие первую окружность в точках B', A'. Прямые AA' и BB' пересекаются в точке Z. Найдите угол XZY.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108138

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Вневписанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Пусть A' – точка касания вневписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Прямая a проходит через точку A' и параллельна биссектрисе внутреннего угла A. Аналогично строятся прямые b и c. Докажите, что прямые a, b и c пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116653

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Дан неравнобедренный треугольник ABC. Пусть N – середина дуги BAC его описанной окружности, а M – середина стороны BC. Обозначим через I₁ и I₂ центры вписанных окружностей треугольников ABM и ACM соответственно. Докажите, что точки I₁, I₂, A, N лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115897

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Вневписанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Две пары подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Середина стороны треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно точки касания этой стороны с вписанной окружностью. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64809

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вневписанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Средняя линия треугольника ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M, N – середины дуг ABC и BAC описанной окружности.
Докажите, что точки M, I, N лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда  AC + BC = 3AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 146]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями