Страница:
<< 21 22 23 24
25 26 27 >> [Всего задач: 236]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Дан фиксированный треугольник ABC. Пусть D – произвольная точка в плоскости треугольника, не совпадающая с его вершинами. Окружность с центром в D, проходящая через A, пересекает вторично прямые AB и AC в точках Ab и Ac соответственно. Аналогично определяются точки Ba, Bc, Ca и Cb. Точку D назовём хорошей, если точки Ab, Ac, Ba, Bc, Ca и Cb лежат на одной окружности.
Сколько может оказаться точек, хороших для данного треугольника ABC?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках M и N. Через точку A окружности S1 проведены прямые AM и AN, пересекающие окружность S2 в точках B и C, а через точку D окружности S2 – прямые DM и DN, пересекающие S1 в точках E и F, причём точки A, E, F лежат по одну сторону от прямой MN, а D, B, C – по другую (см. рис.). Докажите, что если AB = DE, то точки A, F, C и D лежат на одной окружности, положение центра которой не зависит от выбора точек A и D.
Известно, что AE и CD — биссектрисы треугольника ABC,
CDE = 30o. Докажите, что один из углов треугольника
ABC равен
60o или
120o.
|
[Окружность девяти точек]
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что основания высот, середины сторон и середины
отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной
окружности.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
На сторонах $AB,BC,CA$ треугольника $ABC$ выбраны точки $C_1,A_1,B_1$ так, что отрезки $AA_1,BB_1,CC_1$ пересекаются в одной точке. Лучи $B_1A_1$ и $B_1C1$ пересекают описанную окружность в точках $A_2$ и $C_2$. Докажите, что точки $A,C,$ точка пересечения $A_2C_2$ с $BB_1$ и середина $A_2C_2$ лежат на одной окружности.
Страница:
<< 21 22 23 24
25 26 27 >> [Всего задач: 236]
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Окружности
>>
Четыре точки, лежащие на одной окружности
