Страница:
<< 31 32 33 34
35 36 37 >> [Всего задач: 236]
Вокруг правильного треугольника APQ описан прямоугольник
ABCD, причём точки P и Q лежат на сторонах BC и CD
соответственно; P1 и Q1 — середины сторон AP и
AQ. Докажите, что треугольники BQ1C и CP1D
подобны.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Дан треугольник $ABC$ и окружность $\gamma$ с центром в точке $A$, которая пересекает стороны $AB$ и $AC$. Пусть общая хорда описанной окружности треугольника и окружности $\gamma$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Отрезки $CX$ и $BY$ пересекают $\gamma$ в точках $S$ и $T$ соответственно. Описанные окружности треугольников $ACT$ и $BAS$ пересекаются в точках $A$ и $P$. Докажите, что прямые $CX$, $BY$, и $AP$ пересекаются в одной точке.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу. Точку касания этой сферы с основанием пирамиды спроектировали на рёбра основания. Докажите, что все проекции лежат на одной окружности.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из
произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника
(или их продолжения), лежат на одной прямой (прямая Симсона.)
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC, BB1 – его симедиана, луч BB1 вторично пересекает описанную окружность Ω в точке L. Пусть HA, HB, HC – основания высот треугольника ABC, а луч BHB вторично пересекает Ω в точке T. Докажите, что точки HA, HC, T, L лежат на одной окружности.
Страница:
<< 31 32 33 34
35 36 37 >> [Всего задач: 236]
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Окружности
>>
Четыре точки, лежащие на одной окружности
