Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 227]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64549

Темы:   [ Точка Торричелли ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Признаки подобия ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4-

На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K, а на стороне AC – точка M. Отрезки BM и CK пересекаются в точке P. Оказалось, что углы APB, BPC и CPA равны по 120°, а площадь четырёхугольника AKPM равна площади треугольника BPC. Найдите угол BAC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73642

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

а) Дан выпуклый многоугольник A₁A₂...A_n. На стороне A₁A₂ взяты точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ – точки B₂ и D₃, ..., на стороне A_nA₁ – точки B_n и D₁ так, что если построить параллелограммы A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂, ..., A_nB_nC_nD_n, то прямые A₁C₁, A₂C₂, ..., A_nC_n пересекутся в одной точке. Докажите равенство  A₁B₁·A₂B₂·...·A_nB_n = A₁D₁·A₂D₂·...·A_nD_n.

б) Докажите, что для треугольника верно и обратное утверждение: если на стороне A₁A₂ выбраны точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ – точки B₂ и D₃, а на стороне A₃A₁ – точки B₃ и D₁ так, что  A₁B₁·A₂B₂·A₃B₃ = A₁D₁·A₂D₂· A₃D₃,  то, построив параллелограммы A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂ и A₃B₃C₃D₃, получим прямые A₁C₁, A₂C₂ и A₃C₃, пересекающиеся в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 101880

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Две окружности с центрами O и Q, пересекающиеся друг с другом в точках A и B, пересекают биссектрису угла OAQ в точках C и D соответственно. Отрезки AD и OQ пересекаются в точке E, причём площади треугольников OAE и QAE равны 18 и 42 соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OAQD и отношение  BC : BD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 101881

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Две окружности с центрами O и Q, пересекающиеся друг с другом в точках A и B, пересекают биссектрису угла OAQ в точках C и D соответственно. Отрезки OQ и AD пересекаются в точке E, причём площади треугольников OAE и QAE равны 49 и 21 соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OAQD и отношение  BC : BD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 102495

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне PR – точка L, причём  NQ = LR.  Точка A пересечения отрезков QL и NR делит отрезок QL в отношении  m : n,  считая от точки Q. Найдите отношение  PN : PR.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 227]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями