Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 209]      

Через центр окружности  ω ₁ проведена окружность  ω ₂; A и B — точки пересечения окружностей. Касательная к окружности  ω ₂ в точке B пересекает окружность  ω ₁ в точке C. Докажите, что AB = BC.

Прислать комментарий

Решение

Две равные окружности пересекаются в точках A и B . P – отличная от A и B точка одной из окружностей, X , Y – вторые точки пересечения прямых PA , PB с другой окружностью. Докажите, что прямая, проходящая через P и перпендикулярная AB , делит одну из дуг XY пополам.

Прислать комментарий

Решение

На окружности ω c центром O фиксированы точки A и C. Точка B движется по дуге AC. Точка P – фиксированная точка хорды AC. Прямая, проходящая через P параллельно AO, пересекает прямую BA в точке A₁; прямая, проходящая через P параллельно CO, пересекает прямую BC в точке C₁. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A₁BC₁ движется по прямой.

Прислать комментарий

Решение

Внутри выпуклого четырехугольника A₁A₂B₂B₁ нашлась такая точка C, что треугольники CA₁A₂ и CB₂B₁ – правильные. Точки C₁ и C₂ симметричны точке C относительно прямых A₂B₂ и A₁B₁ соответственно. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

Прислать комментарий

Решение

Пусть I – центр вписанной окружности прямоугольного треугольника ABC, касающейся катетов AC и BC в точках B₀ и A₀ соответственно. Перпендикуляр, опущенный из A₀ на прямую AI, и перпендикуляр, опущенный из B₀ на прямую BI, пересекаются в точке P. Докажите, что прямые CP и AB перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 209]