Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 209]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116647

Темы:   [ Параллелограммы (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

На стороне BC параллелограмма ABCD  (∠A < 90°)  отмечена точка T так, что треугольник ATD – остроугольный. Пусть O₁, O₂ и O₃ – центры описанных окружностей треугольников ABT, DAT и CDT соответственно (см. рисунок).

Докажите, что ортоцентр треугольника O₁O₂O₃ лежит на прямой AD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116760

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Углы между биссектрисами ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Точки A₁, B₁, C₁ выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что  AB₁ – AC₁ = CA₁ – CB₁ = BC₁ – BA₁.  Пусть I_A, I_B и I_C – центры окружностей, вписанных в треугольники AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C, соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника I_AI_BI_C совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53360

Темы:   [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В треугольнике ABC известны углы:  ∠A = 45°,  ∠B = 15°. На продолжении стороны AC за точку C взята точка M, причём  CM = 2AC.  Найдите  ∠AMB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64610

Темы:   [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы между биссектрисами ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD нет параллельных сторон. Углы, образованные сторонами четырёхугольника с диагональю AC, равны (в каком-то порядке) 16°, 19°, 55° и 55°. Каким может быть острый угол между диагоналями AC и BD?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65465

Темы:   [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В треугольнике ABC медианы AA₀, BB₀, CC₀ пересекаются в точке M.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников MA₀B₀, MCB₀, MA₀C₀, MBC₀ и точка M лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 209]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями