Каталог по темам

Задачи

Страница: << 234 235 236 237 238 239 240 >> [Всего задач: 1240]

Задача 86105

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Необычные конструкции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Конягин С.В.

На плоскости даны 2005 точек (никакие три из которых не лежат на одной прямой). Каждые две точки соединены отрезком. Тигр и Осёл играют в следующую игру. Осёл помечает каждый отрезок одной из цифр, а затем Тигр помечает каждую точку одной из цифр. Осёл выигрывает, если найдутся две точки, помеченные той же цифрой, что и соединяющий их отрезок, и проигрывает в противном случае. Доказать, что при правильной игре Осёл выиграет.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111920

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Шанин И.А.

На кольцо свободно нанизано 2009 бусинок. За один ход любую бусинку можно передвинуть так, чтобы она оказалась ровно посередине между двумя соседними. Существуют ли такие изначальная расстановка бусинок и последовательность ходов, при которых какая-то бусинка пройдёт хотя бы один полный круг?

Прислать комментарий

Решение

Задача 110186

Темы:	[	Свойства разверток	]
	[	Симметричная стратегия	]
	[	Куб	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

Двое игроков по очереди расставляют в каждой из 24 клеток поверхности куба 2×2×2 числа 1, 2, 3, 24 (каждое число можно ставить один раз). Второй игрок хочет, чтобы суммы чисел в клетках каждого кольца из 8 клеток, опоясывающего куб, были одинаковыми. Сможет ли первый игрок ему помешать?

Прислать комментарий Решение

Задача 79422

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Петя приобрёл в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные устройства" микрокалькулятор, который может по любым действительным числам x и y вычислить xy + x + y + 1 и не имеет других операций. Петя хочет написать "программу" для вычисления многочлена 1 + x + x² + ... + x¹⁹⁸². Под "программой" он понимает такую последовательность многочленов f₁(x), ..., f_n(x), что f₁(x) = x и для любого i = 2, ..., n f_i(x) – константа или
f_i(x) = f_j(x)·f_k(x) + f_k(x) + f_j(x) + 1, где j < i, k < i, причём f_n(x) = 1 + x + ... + x¹⁹⁸².
а) Помогите Пете написать "программу".
б) Можно ли написать "программу", если калькулятор имеет только одну операцию xy + x + y?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109618

Темы:	[	Свойства сечений	]
	[	Пирамида (прочее)	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Перебор случаев	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Авторы: Агаханов Н.Х., Терешин Д.А.

Докажите, что при n ≥ 5 сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный n-угольник, не может являться правильным (n+1)-угольником.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 234 235 236 237 238 239 240 >> [Всего задач: 1240]