Каталог по темам

Задачи

Страница: << 235 236 237 238 239 240 241 >> [Всего задач: 1240]

Задача 64463

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]
	[	Перебор случаев	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Плотников М.

Вокруг треугольника ABC описана окружность. Пусть X – точка внутри окружности, K и L – точки пересечения этой окружности и прямых BX и CX соответственно. Прямая LK пересекает прямую AB в точке E, а прямую AC в точке F. Найдите геометрическое место таких точек X, что описанные окружности треугольников AFK и AEL касаются.

Прислать комментарий

Решение

Задача 105119

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Ориентированные графы	]
	[	Обход графов	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Гуровиц В.М.

По кругу расставлено несколько коробочек. В каждой из них может лежать один или несколько шариков (или она может быть пустой). За один ход разрешается взять все шарики из любой коробочки и разложить их, двигаясь по часовой стрелке, начиная со следующей коробочки, кладя в каждую коробочку по одному шарику.
а) Докажите, что если на каждом следующем ходе шарики берут из той коробочки, в которую попал последний шарик на предыдущем ходе, то в какой-то момент повторится начальное размещение шариков.
б) Докажите, что за несколько ходов из любого начального размещения шариков по коробочкам можно получить любое другое.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109198

Темы:	[	Комбинаторика орбит	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Скажем, что колода из 52 карт сложена правильно, если каждая пара лежащих рядом карт совпадает по масти или достоинству, то же верно для верхней и нижней карты, и наверху лежит туз пик. Докажите, что число способов сложить колоду правильно
а) делится на 12!;
б) делится на 13!.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78510

Темы:	[	Окружности на сфере	]
	[	Неравенства с трехгранными углами	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Доказать, что на сфере нельзя так расположить три дуги больших окружностей в 300^o каждая, чтобы никакие две из них не имели ни общих точек, ни общих концов.

Примечание: Большая окружность – это окружность, полученная в сечении сферы плоскостью, проходящей через ее центр.

Прислать комментарий Решение

Задача 65245

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Сочетания и размещения	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Антропов А.

Обозначим через S(k) сумму цифр натурального числа k. Натуральное число a назовём n-хорошим, если существует такая последовательность натуральных чисел a₀, a₁, ..., a_n, что a_n = a и a_i+1 = a_i – S(a_i) при всех i = 0, 1, ..., n – 1. Верно ли, что для любого натурального n существует натуральное число, являющееся n-хорошим, но не являющееся (n+1)-хорошим?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 235 236 237 238 239 240 241 >> [Всего задач: 1240]