Каталог по темам

Задачи

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 158]

Задача 108242

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Кожевников П.А.

На плоскости дана окружность ω, точка A, лежащая внутри ω, и точка B, отличная от A. Рассматриваются всевозможные хорды XY, проходящие через точку A. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников BXY лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108909

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дана окружность Ω и точка P вне её. Проходящая через точку P прямая l пересекает окружность в точках A и B. На отрезке AB отмечена такая точка C, что PA·PB = PC². Точки M и N – середины двух дуг, на которые хорда AB разбивает окружность Ω. Докажите, что величина угла MCN не зависит от выбора прямой l.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108926

Темы:	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

В неравнобедренном треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁ и CC₁, кроме того, отмечены середины K и L сторон AB и BC соответственно. На прямую CC₁ опущен перпендикуляр AP, а на прямую AA₁ – перпендикуляр CQ. Докажите, что прямые KP и LQ пересекаются на стороне AC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111696

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Из точки M окружности, описанной около прямоугольника ABCD, опустили перпендикуляры MQ и MP на две его противоположные стороны и перпендикуляры MR и MT на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые PR и QT перпендикулярны, а точка их пересечения принадлежит диагонали прямоугольника ABCD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116631

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Авторы: Емельянов Л.А., Емельянова Т.

Дан остроугольный треугольник ABC. Окружность, проходящая через вершину B и центр O его описанной окружности, вторично пересекает стороны BC и BA в точках P и Q соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника POQ лежит на прямой AC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 158]