Выбрано 16 задач 
Убрать все задачи
В равнобедренную трапецию KLMN (
LMKN) вписана окружность, касающася
сторон LM и KN в точках P и Q соответственно,
KN = 4
, PQ = 4.
Прямая CN пересекает отрезок PQ в точке C, а вписанную окружность —
в точках A и B (A между N и C), PC : CQ = 3. Найдите AC.
В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.
а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?
б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?
Решить уравнение 2-log sin x cos x=log cos x sin x.
Два противоположных ребра треугольной пирамиды равны a , два других противоположных ребра равны b , два оставшихся равны c . Найдите косинус угла между рёбрами, равными a .
Равнобедренный треугольник с углом 120° сложен ровно из трёх слоёв бумаги. Треугольник развернули – и получился прямоугольник. Нарисуйте такой прямоугольник и покажите пунктиром линии сгиба.
Основания трапеции равны 3 см и 5 см. Одна из диагоналей трапеции равна 8 см, угол между диагоналями равен 60o . Найдите периметр трапеции.
Дан треугольник ABC и точка P внутри него. A' , B' , C' – проекции P на прямые BC , CA , AB . Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника A'B'C' , лежит внутри треугольника ABC .
Все грани треугольной пирамиды – прямоугольные треугольники. Наибольшее ребро равно a, а противоположное ребро равно b. Двугранный угол при наибольшем ребре равен α. Найдите объём пирамиды.
Даны две окружности. Первая окружность вписана в треугольник ABC ,
вторая касается стороны AC и продолжений сторон AB и BC . Известно,
что эти окружности касаются друг друга, произведение их
радиусов равно 20, а угол BAC равен arccos . Найдите
периметр треугольника ABC .
На плоскости задано n точек, являющихся вершинами выпуклого n-угольника, n > 3. Известно, что существует ровно k равносторонних треугольников со стороной 1, вершины которых – заданные точки.
а) Докажите, что k < 2n/3.
б) Приведите пример конфигурации, для которой k > 0,666n.
В день рождения дяди Федора почтальон Печкин хочет выяснить, сколько тому лет. Шарик говорит, что дяде Федору больше 11 лет, а кот Матроскин утверждает, что больше 10 лет. Сколько лет дяде Федору, если известно, что ровно один из них ошибся? Ответ обоснуйте.
Дан отрезок AB и прямая MN, пересекающая его. Построить треугольник ABC так, чтобы прямая MN делила его угол пополам.
Дан ромб ABCD с тупым углом при вершине A. На продолжении стороны
AD за точку D взята точка K. Отрезки BK и CD пересекаются в точке L.
Найдите площадь треугольника ABK, если BL = 2, KL = 5, а высота ромба равна 1.
Основанием прямой призмы служит ромб с острым углом α . Найдите объём призмы, если её большая диагональ равна l и образует с плоскостью основания угол β .
Окружность с центром в точке M(3;1) проходит через начало координат. Составьте уравнение окружности.
Нарисован угол, и ещё имеется только циркуль.
а) Какое наименьшее число окружностей надо провести, чтобы наверняка определить, является ли данный угол острым?
б) Как определить, равен ли данный угол 31° (разрешается проводить сколько угодно окружностей)?
|
|
 |
Условие
Нарисован угол, и ещё имеется только циркуль.
а) Какое наименьшее число окружностей надо провести, чтобы наверняка определить, является ли данный угол острым?
б) Как определить, равен ли данный угол 31° (разрешается проводить сколько угодно окружностей)?
Решение
а) Проведём окружность с центром на стороне угла, проходящую через его вершину O. Если она пересечёт другую сторону угла, угол был острым.
б) Проведём окружность с центром O. Пусть она пересекает стороны угла в точках A и B. Начиная с точки A, будем откладывать на этой окружности хорды, равные AB. Если отложив 360 таких хорд, мы обойдём окружность ровно 31 раз, то угол AOB равен 31°.Ответ
а) Одну.
