Информация о задаче

Выбрано 14 задач

Существует ли треугольник со сторонами a = 7 и b = 2, если известно, что высота, опущенная на третью сторону этого треугольника, является средним геометрическим двух других высот?

Решение

Докажите, что если среди полученных фигур есть p-звенная и q-звенная, то p + q $\le$ n + 4.

Решение

Автор: Богданов И.И.

К натуральному числу a > 1 приписали это же число и получили число b, кратное a². Найдите все возможные значения числа ^b/_a².

Решение

Петя записал несколько алгебраических выражений, возвёл каждое из них в квадрат и сложил результаты.
Могло ли у него в итоге получиться выражение x² + y² + z² + 3y + 4x + xz + 1?

Решение

Авторы: Гальперин Г.А., Богданов И.И.

Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру k раз, и все k раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение k.

Решение

Найдите натуральное число вида n = 2^x3^y5^z, зная, что половина его имеет на 30 делителей меньше, треть – на 35 и пятая часть – на 42 делителя меньше, чем само число.

Решение

Автор: Богданов И.И.

Продолжения сторон AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K. Известно, что AD = BC. Пусть M и N – середины сторон AB и CD. Докажите, что треугольник MNK тупоугольный.

Решение

Даны две точки A и B. Две окружности касаются прямой AB (одна — в точке A, другая — в точке B) и касаются друг друга в точке M. Найдите ГМТ M.

Решение

а) Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов заполнена числами. Переставим числа в каждой строке в порядке возрастания. Если после этого переставить числа в каждом столбце в порядке возрастания, то в каждой строке они по-прежнему будут стоять в порядке возрастания. Докажите это.
б) Что будет, если действовать в другом порядке: в первоначальной таблице сначала переставить числа по возрастанию в столбцах, а потом – в строках: получится ли в результате та же самая таблица, что и в первом случае, или другая?

Решение

Окружность, вписанная в треугольник, точкой касания делит одну из сторон на отрезки, равные 3 и 4, а противолежащий этой стороне угол равен 120^o . Найдите площадь треугольника.

Решение

Даны непересекающиеся хорды AB и CD окружности. Постройте точку X окружности так, чтобы хорды AX и BX высекали на хорде CD отрезок EF, имеющий данную длину a.

Решение

Основание пирамиды – треугольник со сторонами 10, 13, 13. Площади боковых граней соответственно равны 150, 195, 195. Найдите высоту пирамиды.

Решение

В квадрате ABCD площади 1 сторона AD продолжена за точку D и на продолжении взята точка O, OD = 3. Из точки O проведены два луча. Первый пересекает отрезок CD в точке M и отрезок AB в точке N, второй пересекает отрезок CD в точке L и отрезок BC в точке K, ON = a, ∠BKL = α. Найдите площадь многоугольника BKLMN.

Решение

В прямоугольном треугольнике катеты равны 75 и 100. На отрезках гипотенузы, образуемых основанием высоты, построены полуокружности по одну сторону с данным треугольником. Найдите отрезки катетов, заключённые внутри полукругов.

Решение

Условие

Подсказка

Решение

Ответ

Источники и прецеденты использования