Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найти геометрическое место четвёртых вершин прямоугольников, три вершины которых лежат на двух данных концентрических окружностях, а стороны параллельны двум данным прямым.

   Решение

---

К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы трёх исходных чисел. Найдите все возможные тройки исходных чисел.

   Решение

---

Известно, что в кодовом замке исправны только кнопки с номерами 1, 2, 3, а код этого замка трёхзначен и не содержит других цифр. Написать последовательность цифр наименьшей длины, наверняка открывающую этот замок (замок открывается, как только подряд и в правильном порядке нажаты все три цифры его кода).

   Решение

---

Из всех параллелограммов данной площади найти тот, у которого наибольшая диагональ минимальна.

   Решение

---

Разрежьте квадрат на 6 частей и сложите из них три одинаковых квадрата.

   Решение

---

В треугольник вписана окружность, и точки касания её со сторонами треугольника соединены между собой. В полученный таким образом треугольник вписана новая окружность, точки касания которой со сторонами являются вершинами третьего треугольника, имеющего те же углы, что и первоначальный треугольник. Найти эти углы.

   Решение

---

В прямоугольной таблице произведение суммы чисел любого столбца на сумму чисел любой строки равно числу, стоящему на их пересечении.
Доказать, что сумма всех чисел в таблице равна единице, или все числа равны нулю.

   Решение

---

На стороне AD выпуклого четырёхугольника ABCD нашлась такая точка M, что CM и BM параллельны AB и CD соответственно.
Докажите, что  S_ABCD ≥ 3S_BCM.

   Решение

---

Точки M, N, K – середины рёбер соответственно AB, BC, DD₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.
  а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M, N, K.
  б) В каком отношении эта плоскость делит ребро CC₁ и диагональ DB₁?
  в) В каком отношении эта плоскость делит объём параллелепипеда?

   Решение

---

За круглым столом сидят 2015 человек, каждый из них – либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Им раздали по одной карточке, на каждой карточке написано по числу; при этом все числа на карточках различны. Посмотрев на карточки соседей, каждый из сидящих за столом сказал: "Мое число больше, чем у каждого из двух моих соседей". После этого k из сидящих сказали: "Мое число меньше, чем у каждого из двух моих соседей". При каком наибольшем k это могло случиться?

   Решение

---

а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (прямая Симсона).

б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки P на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка P лежит на описанной окружности треугольника.

   Решение

---

Дан выпуклый четырёхугольник площади S. Внутри него выбирается точка и отображается симметрично относительно середин его сторон. Получаются четыре вершины нового четырёхугольника. Найдите его площадь.

   Решение

Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ] [ Отношения площадей ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый четырёхугольник площади S. Внутри него выбирается точка и отображается симметрично относительно середин его сторон. Получаются четыре вершины нового четырёхугольника. Найдите его площадь.

Подсказка

Площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного выпуклого четырёхугольника в два раза меньше площади данного четырёхугольника.

Решение

Пусть M, N, K и L — середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD четырёхугольника ABCD, P — точка внутри этого четырёхугольника; X, Y, Z и T — образы точки P при симметрии относительно точек M, N, K и L соответственно.

Тогда MN — средняя линия треугольника XPY. Поэтому

Записав аналогичные равенства для треугольников YPZ, ZPT и TPX, получим, что

Пусть M, N, K и L — середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD четырёхугольника ABCD, P — точка внутри этого четырёхугольника; X, Y, Z и T — образы точки P при симметрии относительно точек M, N, K и L соответственно.

Тогда MN — средняя линия треугольника XPY. Поэтому

Записав аналогичные равенства для треугольников YPZ, ZPT и TPX, получим, что

Пусть M, N, K и L — середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD четырёхугольника ABCD, P — точка внутри этого четырёхугольника; X, Y, Z и T — образы точки P при симметрии относительно точек M, N, K и L соответственно.

Тогда MN — средняя линия треугольника XPY. Поэтому

Записав аналогичные равенства для треугольников YPZ, ZPT и TPX, получим, что

Ответ

2S.

Источники и прецеденты использования