Назовем тропинкой замкнутую траекторию на плоскости, состоящую из дуг окружностей и проходящую через каждую свою точку ровно один раз. Приведите пример тропинки и такой точки M на ней, что любая прямая, проходящая через M, делит тропинку пополам, то есть сумма длин всех кусков тропинки в одной полуплоскости равна сумме длин всех кусков тропинки в другой полуплоскости.

   Решение

Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 8, 15 и 17. Найдите площадь треугольника.

   Решение

У Ивана-царевича есть два волшебных меча. Первым он может отрубить Змею Горынычу 21 голову. Вторым – 4 головы, но при этом у Змея Горыныча отрастает 2006 голов. Может ли Иван отрубить Змею Горынычу все головы, если в самом начале у него было 100 голов? (Если, например, у Змея Горыныча осталось лишь три головы, то рубить их ни тем, ни другим мечом нельзя.)

   Решение

Пусть f(x)=x²+ax+b cos x . Найдите все значения параметров a и b , при которых уравнения f(x)=0 и f(f(x))=0 имеют совпадающие непустые множества действительных корней.

   Решение

Числовое множество M, содержащее 2003 различных числа, таково, что для каждых двух различных элементов a, b из M число
   рационально. Докажите, что для любого a из M число    рационально.

   Решение

В колоде 52 карты, по 13 каждой масти. Ваня вынимает из колоды по одной карте. Вынутые карты в колоду не возвращаются. Каждый раз перед тем, как вынуть карту, Ваня загадывает какую-нибудь масть. Докажите, что если Ваня каждый раз будет загадывать масть, карт которой в колоде осталось не меньше, чем карт любой другой масти, то загаданная масть совпадет с мастью вынутой карты не менее 13 раз.

   Решение

Окружность S с центром O и окружность S' пересекаются в точках A и B. На дуге окружности S, лежащей внутри S', взята точка C. Точки пересечения прямых AC и BC с S', отличные от A и B, обозначим через E и D соответственно. Докажите, что прямые DE и OC перпендикулярны.

   Решение

В первые 1999 ячеек компьютера в указанном порядке записаны числа: 1, 2, 4, 21998 . Два программиста по очереди уменьшают за один ход на единицу числа в пяти различных ячейках. Если в одной из ячеек появляется отрицательное число, то компьютер ломается, и сломавший его оплачивает ремонт. Кто из программистов может уберечь себя от финансовых потерь независимо от ходов партнера, и как он должен для этого действовать?

   Решение

a, b и n – натуральные числа, и n нечётно. Докажите, что если числитель и знаменатель дроби     делятся на n, то и сама дробь делится на n.

   Решение

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Пусть описанные окружности S₁ и S₂ треугольников ABO и CDO второй раз пересекаются в точке K. Прямые, проходящие через точку O параллельно прямым AB и CD, вторично пересекают S₁ и S₂ в точках L и M соответственно. На отрезках OL и OM выбраны соответственно точки P и Q, причём  OP : PL = MQ : QO.  Докажите, что точки O, K, P, Q лежат на одной окружности.

   Решение

У Ани и Бори было по длинной полосе бумаги. На одной из них была написана буква А, на другой – Б. Каждую минуту один из них (не обязательно по очереди) приписывает справа или слева к слову на своей полосе слово с полосы другого. Докажите, что через сутки слово с Аниной полосы можно будет разрезать на 2 части и переставить их местами так, что получится то же слово, записанное в обратном порядке.

   Решение

Внутри равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AB взята такая точка M, что угол MAB на 15° больше угла MAC, а угол MCB на 15° больше угла MBC. Найдите угол BMC.

   Решение

На двух сторонах AB и BC правильного 2n-угольника взято по точке K и N, причём угол KEN, где E – вершина, противоположная B, равен ^180°/_2n. Докажите, что NE – биссектриса угла KNC.

   Решение

Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ] [ Правильные многоугольники ] [ Углы между биссектрисами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На двух сторонах AB и BC правильного 2n-угольника взято по точке K и N, причём угол KEN, где E – вершина, противоположная B, равен ^180°/_2n. Докажите, что NE – биссектриса угла KNC.

Подсказка

На продолжениях сторон BA и BC правильного 2n-угольника за точки A и C отложим отрезки AA₁ и CC₁, равные BA. Точки A₁, B и C₁ являются вершинами другого правильного 2n-угольника. Рассмотрите поворот на угол ^360°/_2n вокруг точки E.

Решение 1

   Пусть O — центр вневписанной окружности треугольника KBN, касающейся стороны KN. Отрезок KN виден из точки O под углом
90° – ¹/₂ ∠B  = ^180°/_2n (см. задачу 55448). Но на биссектрисе BE угла B, очевидно, есть только одна точка, из которой отрезок KN виден под указанным углом, и по условию это — точка E. Следовательно, точки O и E совпадают и NE — биссектриса внешнего угла KNC треугольника KBN.

Решение 2

  На продолжениях сторон BA и BC правильного 2n-угольника за точки A и C отложим отрезки AA₁ и CC₁, равные BA. Поскольку  ∠A₁BC₁ = ∠ABC  и  A₁B = C₁B,  то точки A₁, B и C₁ являются вершинами другого правильного 2n-угольника, причём точка E – центр этого 2n-угольника.
  При повороте на угол ^360°/_2n вокруг точки E точка A₁ перейдёт в точку B, точка B — в C₁, а точка K – в некоторую точку K₁ отрезка CC₁. Тогда
EK₁ = EK,  а   ∠NEK₁ = ∠KEK₁ – ∠KEN  = ^360°/_2n – ^180°/_2n = ^180°/_2n = ∠KEN.   Поэтому треугольники NEK₁ и NEK равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  ∠KNE = ∠K₁NE = ∠CNE,  то есть NE – биссектриса угла KNC.

Источники и прецеденты использования