Найдите геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных прямых имеет данную величину.

   Решение

Углы треугольника равны α, β и γ, а периметр равен P. Найдите стороны треугольника.

   Решение

Длины сторон параллелограмма равны a и b, длины диагоналей — m и n. Докажите, что  a⁴ + b⁴ = m²n² тогда и только тогда, когда острый угол параллелограмма равен  45^o.

   Решение

В треугольнике ABC угол B равен 60^o, биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что OD = OE.

   Решение

Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и точке, в которой её касается вписанная окружность.

   Решение

Докажите, что предельная точка пучка является общей точкой окружностей ортогонального пучка, и наоборот.

   Решение

Основание наклонной призмы – равносторонний треугольник со стороной a . Одно из боковых рёбер равно b и образует с прилежащими сторонами основания углы 45^o . Найдите боковую поверхность призмы.

   Решение

Дан не равносторонний треугольник ABC. Точки A₁, B₁ и C₁ выбраны так, что треугольники BA₁C, CB₁A и AC₁B собственно подобны. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ равносторонний тогда и только тогда, когда указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом 120^o при вершинах A₁, B₁ и C₁.

   Решение

Найдите углы и стороны четырёхугольника с вершинами в серединах сторон равнобедренной трапеции, диагонали которой равны 10 и пересекаются под углом 40^o.

   Решение

На сторонах AB и CB треугольника ABC откладываются равные отрезки произвольной длины AD и CE. Найти геометрическое место середин отрезков DE.

   Решение

Концы отрезка AB принадлежат граням двугранного угла, равного ϕ . Расстояния AA1 и BB1 от точек A и B до ребра двугранного угла равны a и b соответственно, A1B1 = c . Найдите AB .

   Решение

Отображение $f$ ставит в соответствие каждому невырожденному треугольнику на плоскости окружность ненулевого радиуса, причем выполняются следующие условия:

– Если произвольное подобие $\sigma$ переводит треугольник $\Delta_1$ в $\Delta_2$, то $\sigma$ переводит окружность $f(\Delta_1)$ в $f(\Delta_2)$.

– Для любых четырех точек общего положения $A$, $B$, $C$, $D$ окружности $f(ABC)$, $f(BCD)$, $f(CDA)$ и $f(DAB)$ имеют общую точку.

Докажите, что для любого треугольника $\Delta$ окружность $f(\Delta)$ совпадает с окружностью девяти точек треугольника $\Delta$ .

   Решение

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке L. В треугольнике ABL отметили точку пересечения высот H, а в треугольниках BCL, CDL и DAL – центры O₁, O₂ и O₃ описанных окружностей. Затем весь рисунок, кроме точек H, O₁, O₂, O₃, стерли. Восстановите его.

   Решение

Докажите, что семейство всех окружностей, ортогональным окружностям данного пучка, образует пучок.

   Решение

Тема:    [ Радикальная ось ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что семейство всех окружностей, ортогональным окружностям данного пучка, образует пучок.

Решение

Пусть окружность S с центром O и радиусом R принадлежит данному пучку. Тогда, как следует из решения задачи 3.73B, степень точки O относительно любой окружности, ортогональной S, равна R². Поэтому прямая, на которой лежат центры окружностей данного пучка, является радикальной осью для семейства ортогональных окружностей.

Источники и прецеденты использования