Из вершины A острого угла ромба ABCD опущены перпендикуляры AM и AN на продолжения сторон BC и CD. В четырёхугольник AMCN вписана окружность радиуса 1. Найдите сторону ромба, если BAC = 2arctg.

   Решение

Поставьте на плоскости 9 точек так, чтобы никакие 4 не лежали на одной прямой, но из любых шести нашлись 3, лежащие на одной прямой. (На рисунке проведите все прямые, на которых лежат по три отмеченные точки.)

   Решение

Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться произведению двух последовательных чётных чисел?

   Решение

Какое наибольшее число пятниц может быть в году?

   Решение

К окружности радиуса 36 проведена касательная из точки, удаленной от центра на расстояние, равное 85. Найдите длину касательной.

   Решение

В треугольнике ABC со сторонами  AB = 4,  AC = 6  проведена биссектриса угла A. На эту биссектрису опущен перпендикуляр BH.
Найдите MH, где M – середина BC.

   Решение

Существует ли такой невыпуклый многогранник, что из некоторой точки М, лежащей вне него, не видна ни одна из его вершин?
(Многогранник сделан из непрозрачного материала, так что сквозь него ничего не видно.)

   Решение

Может ли случиться, что шесть попарно непересекающихся параллелепипедов расположены в пространстве так, что из некоторой им не принадлежащей точки пространства не видно ни одной из их вершин? (Параллелепипеды непрозрачны.)

   Решение

Найдите цифры a и b, для которых   = 0,bbbbb...

   Решение

а) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A₁, B₁ и C₁, отличные от вершин треугольника. Докажите, что описанные окружности треугольников  AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C пересекаются в одной точке.
б) Точки A₁, B₁ и C₁ перемещаются по прямым BC, CA и AB так, что все треугольники A₁B₁C₁ подобны одному и тому же треугольнику. Докажите, что точка пересечения описанных окружностей треугольников  AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C остается при этом неподвижной. (Треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными.)

   Решение

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA', BB', CC'. Известно, что в треугольнике A'B'C' эти прямые также являются биссектрисами.
Верно ли, что треугольник ABC равносторонний?

   Решение

Из точки M проведены касательные MA и MB к окружности с центром O (A и B – точки касания). Найдите радиус окружности, если  ∠AMB = α  и  AB = a.

   Решение

Окружности радиусов r и R  (R > r)  касаются внешним образом в точке K. К ним проведены две общие внешние касательные. Их точки касания с меньшей окружностью – A и D, с большей – B и C соответственно.
  а) Найдите AB и отрезок MN общей внутренней касательной, заключённый между внешними касательными.
  б) Докажите, что углы AKB и O₁MO₂ – прямые (O₁ и O₂ – центры окружностей).

   Решение

В шестиугольнике пять углов по 90°, а один угол — 270° (см. рисунок). C помощью линейки без делений разделите его на два равновеликих многоугольника.

   Решение

Докажите, что любое движение плоскости является композицией не более чем трех симметрий относительно прямых.

   Решение

Тема:    [ Композиции движений. Теорема Шаля ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что любое движение плоскости является композицией не более чем трех симметрий относительно прямых.

Решение

Пусть F — движение, переводящее точку A в A', причем точки A и A' не совпадают; S симметрия относительно серединного перпендикуляра l к отрезку AA'. Тогда SoF(A) = A, т. е. A — неподвижная точка преобразования SoF. Кроме того, если X — неподвижная точка преобразования F, то AX = A'X, т. е. точка X лежит на прямой l, а значит, X — неподвижная точка преобразования SoF. Таким образом, точка A и все неподвижные точки преобразования F являются неподвижными точками преобразования SoF.
Возьмем точки A, B и C, не лежащие на одной прямой, и рассмотрим их образы при данном движении G. Можно построить такие преобразования S₁, S₂ и S₃, являющиеся симметриями относительно прямых или тождественными преобразованиями, что преобразование S₃oS₂oS₁oG оставляет неподвижными точки A, B и C, т. е. оно является тождественным преобразованием E. Домножая равенство S₃oS₂oS₁oG = E слева последовательно на S₃, S₂ и S₁ и учитывая, что S_ioS_i = E, получаем G = S₁oS₂oS₃.

Источники и прецеденты использования