Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 19 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что если стороны a, b и противолежащие им углы α и β треугольника связаны соотношением  a/cos α = b/cos β,  то треугольник – равнобедренный.

Вниз   Решение

Три купчихи – Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна – сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна – 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна – 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?

ВверхВниз   Решение

Постройте четырехугольник по углам и диагоналям.

ВверхВниз   Решение

Число Y получается из натурального числа X некоторой перестановкой его цифр. Известно, что  X + Y = 10200.  Доказать, что X делится на 50.

ВверхВниз   Решение

а) Покажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых кратна 5.
б) Останется ли это утверждение верным, если вместо разности взять сумму?

ВверхВниз   Решение

Исследуйте последовательности на сходимость:
а) xn + 1 = $ {\dfrac{1}{1+x_n}}$,    x0 = 1;
б) xn + 1 = sin xn,     x0 = a $ \in$ (0;$ \pi$);
в) xn + 1 = $ \sqrt{a+x}$,    a > 0, x0 = 0.

ВверхВниз   Решение

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{a}{b+c-a}}$ + $\displaystyle {\frac{b}{c+a-b}}$ + $\displaystyle {\frac{c}{a+b-c}}$$\displaystyle \ge$3.


ВверхВниз   Решение

Докажите, что если в выражении  (x² – x + 1)2014  раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то какой-нибудь коэффициент полученного многочлена будет отрицательным.

ВверхВниз   Решение

Докажите следующий вариант формулы Бине:  

ВверхВниз   Решение

Докажите равенство:  
(Сумма, стоящая в левой части, может быть интерпретирована, как сумма элементов треугольника Паскаля, стоящих в одной диагонали.)

ВверхВниз   Решение

Из точки A проведены два луча, пересекающие данную окружность: один — в точках B и C, другой — в точках D и E. Известно, что AB = 7, BC = 7, AD = 10. Найдите DE.

ВверхВниз   Решение

На каждой стороне треугольника ABC построено по квадрату во внешнюю сторону (пифагоровы штаны). Оказалось, что внешние вершины всех квадратов лежат на одной окружности. Доказать, что треугольник ABC — равнобедренный.

ВверхВниз   Решение

Игральную кость бросают шесть раз. Найдите математическое ожидание числа различных выпавших граней.

ВверхВниз   Решение

Автор: Савин А.П.

Дан правильный треугольник ABC . Через вершину B проводится произвольная прямая l , а через точки A и C проводятся прямые, перпендикулярные прямой l , пересекающие её в точках D и E . Затем, если точки D и E различны, строятся правильные треугольники DEP и DET , лежащие по разные стороны от прямой l . Найдите геометрическое место точек P и T .

ВверхВниз   Решение

Автор: Тригуб А.

Внутри остроугольного треугольника ABC постройте (с помощью циркуля и линейки) такую точку K, что  ∠KBA = 2∠KAB  и  ∠KBC = 2∠KCB.

ВверхВниз   Решение

Автор: Кулагин Д.Е.

На каждой стороне параллелограмма выбрано по точке (выбранные точки отличны от вершин параллелограмма). Точки, лежащие на соседних (имеющих общую вершину) сторонах, соединены отрезками. Докажите, что центры описанных окружностей четырёх получившихся треугольников – вершины параллелограмма.

ВверхВниз   Решение

При каких натуральных a существуют такие натуральные числа x и y, что (x + y)2 + 3x + y = 2a?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что числа вида 2n при различных целых положительных n могут начинаться на любую наперёд заданную комбинацию цифр.

ВверхВниз   Решение

Алгоритм приближенного вычисления $ \sqrt[3]{a}$. Последовательность {an} определяется условиями:

a0 = a > 0,        an + 1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$$\displaystyle \left(\vphantom{2a_{n}+\frac{a}{a_{n}^2}}\right.$2an + $\displaystyle {\frac{a}{a_{n}^2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{2a_{n}+\frac{a}{a_{n}^2}}\right)$        (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что $ \lim\limits_{n\to\infty}^{}$an = $ \sqrt[3]{a}$.

Вверх   Решение

Задача 61311
Темы:    [ Предел последовательности, сходимость ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
 Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Алгоритм приближенного вычисления $ \sqrt[3]{a}$. Последовательность {an} определяется условиями:

a0 = a > 0,        an + 1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$$\displaystyle \left(\vphantom{2a_{n}+\frac{a}{a_{n}^2}}\right.$2an + $\displaystyle {\frac{a}{a_{n}^2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{2a_{n}+\frac{a}{a_{n}^2}}\right)$        (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что $ \lim\limits_{n\to\infty}^{}$an = $ \sqrt[3]{a}$.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 9
Название Уравнения и системы
Тема Неопределено
параграф
Номер 3
Название Итерации
Тема Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)
задача
Номер 09.060
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .