Пусть a, b, c, d, e и f – некоторые числа, причём  ace ≠ 0.  Известно, что значения выражений  |ax + b| + |cx + d|  и  |ex + f |  равны при всех значениях x.
Докажите, что  ad = bc.

   Решение

Точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M – середина стороны AC, а W – середина дуги AB описанной окружности, не содержащей C. Оказалось, что  ∠AIM = 90°.  В каком отношении точка I делит отрезок CW?

   Решение

Докажите, что для любого натурального числа  n > 1  найдутся такие натуральные числа a, b, c, d, что  a + b = c + d = ab – cd = 4n.

   Решение

На плоскости отметили 30 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и провели семь красных прямых, не проходящих через отмеченные точки. Могло ли случиться, что каждый отрезок, соединяющий какие-то две отмеченные точки, пересекается хоть с одной красной прямой?

   Решение

a и b – натуральные числа. Известно, что  a² + b²  делится на ab. Докажите, что  a = b.

   Решение

Дан треугольник ABC с попарно различными сторонами. На его сторонах построены внешним образом правильные треугольники ABC₁, BCA₁ и CAB₁. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ не может быть правильным.

   Решение

В остроугольном треугольнике $ABC$ с высотой $AH=h$ проведена прямая через центры $O$ и $I$ описанной и вписанной окружностей. Эта прямая пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $F$ и $N$ соответственно, причем около четырехугольника $BFNC$ можно описать окружность. Найдите сумму расстояний от ортоцентра треугольника $ABC$ до его вершин.

   Решение

Найдите наименьшее натуральное число, кратное 80, в котором можно так переставить две его различные цифры, что получившееся число также будет кратно 80.

   Решение

Бессмертная блоха прыгает по целым точкам на числовой прямой, стартуя с точки 0. Длина первого прыжка равна 3, второго – 5, третьего – 9, и так далее (длина k-го прыжка равна  2^k + 1).  Направление прыжка (вправо или влево) блоха выбирает самостоятельно. Может ли так случиться, что блоха рано или поздно побывает в каждой натуральной точке (возможно, побывав в некоторых точках больше, чем по разу)?

   Решение

Около прямоугольника $ABCD$ описана окружность. На меньшей дуге $BC$ окружности взята произвольная точка $E$. К окружности проведена касательная в точке $B$, пересекающая прямую $CE$ в точке $G$. Отрезки $AE$ и $BD$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что прямые $GK$ и $AD$ перпендикулярны.

   Решение

Аня называет дату красивой, если все 6 цифр её записи различны. Например, 19.04.23 — красивая дата, а 19.02.23 и 01.06.23 — нет. А сколько всего красивых дат в 2023 году?

   Решение

Имеются 2013 карточек, на которых написана цифра 1, и 2013 карточек, на которых написана цифра 2. Вася складывает из этих карточек 4026-значное число. За один ход Петя может поменять местами некоторые две карточки и заплатить Васе 1 рубль. Процесс заканчивается, когда у Пети получается число, кратное 11. Какую наибольшую сумму может заработать Вася, если Петя стремится заплатить как можно меньше?

   Решение

Решите уравнение $$\tan\pi {}x = [\lg \pi^x]-[\lg [\pi^x]],$$ где $[a]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $a$.

   Решение

По кругу записаны 100 целых чисел. Каждое из чисел больше суммы двух чисел, следующих за ним по часовой стрелке.
Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди записанных?

   Решение

Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Прямые $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $E$, а прямые $BC$ и $AD$ — в точке $F$. В треугольнике $AED$ отмечен центр вписанной окружности $I$, а из точки $F$ проведен луч, перпендикулярный биссектрисе угла $AID$. В каком отношении этот луч делит угол $AFB$?

   Решение

Можно ли отметить k вершин правильного 14-угольника так, что каждый четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках, имеющий две параллельные стороны, является прямоугольником, если:  а) k = 6;   б) k ≥ 7?

   Решение

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Четность и нечетность ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Можно ли отметить k вершин правильного 14-угольника так, что каждый четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках, имеющий две параллельные стороны, является прямоугольником, если:  а) k = 6;   б) k ≥ 7?

Решение

  а) Пусть A₁A₂...A₁₄ – правильный 14-угольник (см. рис.). Отметим шесть его вершин: A₁, A₂, A₄, A₈, A₉, A₁₁. Ясно, что если некоторые два отрезка с концами в вершинах этого многоугольника параллельны, то между ними с двух сторон лежит равное число сторон 14-угольника. Из отрезков с концами в отмеченных шести вершинах этим свойством обладают только пары отрезков A₁A₂ и A₈A₉, A₂A₄ и A₉A₁₁, A₁A₄ и A₈A₁₁, A₄A₈ и A₁A₁₁, A₄A₉ и A₂A₁₁, A₁A₉ и A₂A₈. Перечисленные пары отрезков являются сторонами трёх параллелограммов, вписанных в окружность, то есть прямоугольников.

  б) Докажем, что какие бы семь вершин правильного 14-угольника ни были отмечены, всегда найдётся трапеция с вершинами в отмеченных точках. Проведём прямые через всевозможные пары вершин правильного 14-угольника. Покажем, что среди этих прямых можно выбрать 14 попарно не параллельных, а среди любых 15 прямых хотя бы две будут параллельны (если прямые параллельны, то будем далее говорить, что они имеют одно направление). В самом деле, прямые A₁A₂, A₃A₁₄, ..., A₈A₉ имеют одно направление. Прямые A₁A₁₄, A₂A₁₃, ..., A₇A₈ также имеют одно направление, отличное от уже рассмотренного, поскольку каждая из них получается из соответствующей прямой первого направления поворотом на угол ^π/₇ вокруг центра 14-угольника. Поворачивая эти прямые на тот же угол далее, получим еще пять новых направлений. Рассмотрим теперь прямые A₃A₁, A₄A₁₄, ..., A₈A₁₀. Все они имеют одно направление, отличное от семи, указанных выше. Шестью последовательными поворотами этих прямых на угол ^π/₇ вокруг центра 14-угольника получим еще шесть новых направлений прямых, проходящих через вершины правильного 14-угольника. Остаётся заметить, что любая прямая, содержащая отрезок с концами в вершинах правильного 14-угольника, имеет одно из перечисленных 14 направлений, а именно, если между концами отрезка лежит чётное число вершин, то одно из первых семи направлений, а если нечётное, то одно из последних семи направлений.
  Соединим все отмеченные вершины отрезками; их число равно  7·6 : 2 = 21.  Если некоторые три отрезка имеют одно направление, то некоторые два из них являются основаниями трапеции. В самом деле, если параллелограмм вписан в окружность, то он прямоугольник, причём его противоположные стороны стягивают одинаковое число сторон многоугольника. Следовательно, если вершины каких-либо двух из трёх отрезков данного направления лежат в вершинах такого прямоугольника, то концы любого из этих двух отрезков и третьего отрезка лежат в вершинах трапеции.
  Пусть теперь для каждого из 14 направлений имеется не более двух отрезков из 21 проведённых. Это означает, что существуют не менее семи направлений, для каждого из которых есть ровно два параллельных отрезка с концами в отмеченных точках. Рассмотрим любое направление, для которого есть два таких отрезка. Обозначим их AB и CD. Если они не являются основаниями трапеции, то это стороны прямоугольника, поэтому отрезки AC и BD параллельны и принадлежат перпендикулярному направлению. Следовательно, все направления, для которых имеются два отрезка, распадаются на пары взаимно перпендикулярных, а значит, число направлений, для каждого из которых есть ровно два параллельных отрезка с концами в отмеченных точках, не меньше восьми, а соответствующие пары взаимно перпендикулярных отрезков являются сторонами не менее четырёх различных прямоугольников с вершинами в отмеченных точках. Поскольку все вершины каждого прямоугольника разбиваются на пары диаметрально противоположных, а среди семи отмеченных точек хотя бы одна такова, что диаметрально противоположная ей точка не отмечена, получаем, что вершины прямоугольников могут располагаться не более чем в шести из отмеченных точек. Но может существовать не более трёх различных прямоугольников с вершинами в шести данных точках окружности. Противоречие.

Ответ

а) Можно;  б) нельзя.

Замечания

На основании решения задачи 79399 может показаться, что если среди вершин правильного n-угольника отмечены k точек, причём  ½ k(k – 1) > n,  то среди отмеченных точек обязательно найдутся четыре, являющиеся вершинами трапеции. Оказывается, что это не так: например,  ½ 6(6 – 1) > 14,  но, как видно из п. а), среди вершин правильного 14-угольника можно отметить шесть точек так, что никакие четыре из них не будут вершинами трапеции.

Источники и прецеденты использования