Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 86]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110129

Темы:   [ Касающиеся окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Углы между биссектрисами ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Формула Герона ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Пусть A₀ – середина стороны BC треугольника ABC, а A' – точка касания с этой стороной вписанной окружности. Построим окружность Ω с центром в A₀ и проходящую через A'. На других сторонах построим аналогичные окружности. Докажите, что если Ω касается описанной окружности на дуге BC, не содержащей A, то еще одна из построенных окружностей касается описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110134

Темы:   [ Признаки делимости на 11 ] [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Деление с остатком ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Два игрока по очереди выписывают на доске в ряд слева направо произвольные цифры. Проигрывает игрок, после хода которого одна или несколько цифр, записанных подряд, образуют число, кратное 11. Кто из игроков победит при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110199

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Радикальная ось ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Средняя линия треугольника ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

AA₁ и BB₁ – высоты остроугольного неравнобедренного треугольника ABC. Известно, что отрезок A₁B₁ пересекает среднюю линию, параллельную AB, в точке C'. Докажите, что отрезок CC' перпендикулярен прямой, проходящей через точку пересечения высот и центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110211

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Признаки подобия ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Через точку пересечения высот остроугольного треугольника ABC проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110216

Темы:   [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают описанную окружность этого треугольника в точках A₀ и C₀ соответственно. Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника ABC параллельно стороне AC , пересекается с прямой A₀C₀ в точке P . Докажите, что прямая PB касается описанной окружности треугольника ABC .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 86]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями