Страница:
<< 12 13 14 15
16 17 18 >> [Всего задач: 86]
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9,10
|
На бесконечной в обе стороны ленте бумаги выписаны все целые числа, каждое – ровно по одному разу.
Могло ли оказаться, что между каждыми двумя числами не стоит их среднее арифметическое?
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10
|
В неравнобедренном треугольнике ABC точки H и M – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A, B и C проведены прямые, перпендикулярные прямым AM, BM, CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведёнными прямыми, лежит на прямой MH.
В треугольнике
ABC проведена биссектриса
BD (точка
D лежит на отрезке
AC ). Прямая
BD пересекает окружность
Ω ,
описанную около треугольника
ABC , в точках
B и
E . Окружность
ω , построенная на отрезке
DE как на диаметре,
пересекает окружность
Ω в точках
E и
F . Докажите, что прямая, симметричная прямой
BF относительно прямой
BD ,
содержит медиану треугольника
ABC .
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
Двое игроков по очереди расставляют в каждой из 24 клеток поверхности куба 2×2×2
числа 1, 2, 3, 24 (каждое число можно ставить один раз).
Второй игрок хочет, чтобы суммы чисел в клетках каждого кольца из 8 клеток,
опоясывающего куб, были одинаковыми. Сможет ли первый игрок ему
помешать?
|
|
Сложность: 5- Классы: 9,10,11
|
На сторонах
AB и
BC параллелограмма
ABCD выбраны точки
A1 и
C1 соответственно. Отрезки
AC1 и
CA1 пересекаются в точке
P .
Описанные окружности треугольников
AA1P и
CC1P вторично пересекаются в точке
Q , лежащей внутри треугольника
ACD .
Докажите, что
PDA= QBA .
Страница:
<< 12 13 14 15
16 17 18 >> [Всего задач: 86]